OM, M,P

En remarquant que OM, rz a, on a donc OM^ rz b. Un voit ainsi que le lieu du point M, est le cercle décrit sur le petit axe comme diamètre. On déduit de cette propriété une construction, point par point, de Fellipse ; cette construction, bien connue, est indiquée par la figure ci-dessus.

M'i^ii

Fig. iM.

Supposons maintenant que l'on considère un point quel-

conque N, (a:, y), "el soit N,, (X, Y) le point correspondant. Pour construire ce point N, on peut observer que Ton a

ON OBt ON, "■ OB/

et que» par suite, les droites EN, B, Ni, concourent sur le grand axe de Tellipse ; cette remarque permet de déterminer très simplement le point correspondant d*un point donné. Lorsque le point considéré est à rinfini, le point correspondant est aussi à Finfini.

8341. Droites «MMrespondanCes. Nous avons déjà vu (§191) que^ dans la transformation homographique, à une droite A, correspondait une autre droite A, ; ces deux droites sont naturellement, appelées droites correspondantes.

83&. Théorème. Dans la transformation homographique qui est définie par les formules :

les droites correspondantes coupent l'axe des x au même point.

En effety soit

(A) Ax-hBy-hC^zo,

réquation de la droite A ; l'équation de la droite transformée \, sera

(A.) AX + B-Y-i-C-o.

Ces équations prouvent que A et A, coupent l'axe ox aa même point, ce point étant à une distance de Torigine égale

à — -, pour Tune et l'autre do ces droites.

Lorsque deux droites sont parallèles^ on voit aussi qae les

droites correspondantes sont parallèles. Deux courbes correspondantes coupent Taxe ox aux mêmes points ; et cette remarque générale s'applique à toute transformation dans laquelle l'une des formules qui la définissent est ay — gY z= o ; oLy 3 représentant des constantes. Ceci tient à ce que y étant nul, Y Test aussi.

On déduit de cette observation que les tangentes atix courbes correspondantes y en deux points qui sont correspondants coupent taxe des Xy au même point.

On peut appliquer cette propriété à la résolution du problème qui consiste à mener une tangents à l'ellipse par un point donné.

830. Problème. Mener une tangente à V ellipse par un point donné.

Nous distinguerons trois cas suivant que le point proposé est : sur Tellipse, extérieur à la courbe, ou, enfin, rejeté à rinfini.

i"" Le point est pris sur V ellipse. Soit M le point pris sur la courbe, M, le point correspondant; menons la tangente M,T au cercle principal ; elle rencontre AA' au point T, et la droite TM est la tangente demandée.

Fig. 133.

Ti^Le point est extérieur à F ellipse. Soient P le point proposé, P, le point correspondant^ obtenu comme il a été dit plus haut, et comme l'indique la figure. Ayant mené par P, les tangentes P,T et PjT' au cercle principal, les tangentes demandées sont les droites PT,PT'.

TBENTE-TROISIÈME LEÇON

Pour que le problème proposé soit possible, il suffit que le point P, soit extérieur au cercle principal ; que Ton ait, par conséquent,

X'-hY*~-a*>o

Fig. ia4-

ou, d'après les formules de transformation,

ou, encore,

Le point P doit donc être extérieur à l'ellipse donnée. Celle condition est'nécessaire et suffisante.

3*» Le point est rejeté à tinflni. Supposons que le point considéré soit à rinfini dans la direction of, et proposons-noas de mener à l'ellipse une tangente parallèle à cette direction. Par le point B, menons BR parallèle à oty B^R est la droile qui correspond à BR. Si du point 0, nous abaissons sur BR une perpendiculaire 0M|, la tangente au cercle principal, en M,, rencontre 6x au point T, et si, par T, on mène une parallèle TT' à la direction donnée ot^ TT' est l'une des tangentes demandées. Le problème comporte une seconde solution: l'autre tangente est une droite symétrique de TT', par rapport à Torigine.

En construisant, comme le montre la figure, le point M, correspondant de M,, on a, en même temps qu'une vérification de la construction précédente, la détermination du point de contact.

Fî^. 125.

839. Trouver les points communs à une ellipse, dont on connaît les axes en grandeur et en direction^ et à une droite de son plan.

En transformant, par la méthode précédente, la figure proposée: àla droite donnée MM', correspond la droite M,M/(fig. 124). Celle-ci coupe le cercle principal aux points M, M', qui donnent les points cherchés M et M' en abaissant, de M« et de M\ , des perpendiculaires sur le grand axe.

Cherchons dans quel cas la rencontre de la droite et de Tellipse est réelle.

Soit

l'équation de MM' ; celle de MjM/ est

A- + B-iri.

La distance de 0 à MM'a pour valeur

v/a*-4-B' contre du cercle et de M, M,' sera réelle, si Ton a :

; ainsi la reii'

A"-hB

ou,

Dans le cas particulier où Ton suppose A*-h B* — i , TNj est

Fig. 136.

tangente au cercle principal et, par suite, la droite TN, à Tellipse.

En posant :

A = cos <p, B = sin ? ; on a, pour l'équation générale des tangentes à Tellipse :

(i) — cos<p + 7- sin 9= 1.

On obtient ainsi une forme, déjà trouvée, pour Téqualion des tangentes à Tellipse.

On peut observer à ce propos que Tangle 9 est susceptible d'une interprétation géométrique remarquable.

En effet, à la droite (i) correspond une tangente au cercle principal, ayant pour équation

(ia) X cos f + y sin f iz a.

Cette relation prouve que 9 est l'angle que fait avec ox la perpendiculaire abaissée de l'origine sur TN,. L'angle 9 est donc Tangle sous lequel on voit de l'origine l'ordonnée M,P du cercle principal qui correspond au point M.

L'angle 9, que l'on considère aussi dans l'astronomie, est appelé anomalie excentrique.

838. Théorème. A deux directions cor^fuguées correspondent detùx directions rectangulaires.

Soient :

(A) Aa: + By -h C = 0, (a) A'a7H-BV-hC' = o,

les équations de deux droites A, î. les droites transformées A| , 3, correspondent aux équations suivantes :

(A,) AX + B-Y + C=o,

(iA A'X-t-B'-Y-|-C'=o,

Si les droites A, S ont des directions conjuguées, on a :