AA
BB' ~ à
Celte relation prouve que les droites A,, 3,, sont rectangulaires.
1. Application. Trouver le lieu du point de concours des tangentes conjuguées d'une ellipse.
Pour montrer, sur un exemple simple, comment on peut faire servir la méthode de transformation, dont nous venons
d'exposer les premiers principes, à la démonstration de ce^ taines propriétés de Tellipse, proposons -nous de trouver le lieu des points d'où partent deux tangentes à l'ellipse ayant des directions conjuguées.
Soit P (fig. 1^4) un des points du lieu et P, le point correspondant ; soient x, y les coordonnées de P ; X, Y celles de Pf Les tangentes PM, PM' étant conjuguées, les droites correspondantes PM|, PH', représentent deux tangentes rectangulaires du cercle principal. On sait que le point P, appartient
à un cercle ayant pour centre 0, et pour rayon a V^ ; on a donc :
En appliquant les formules de transformation, on a, pour réquation du lieu,
ou.
C'est réquation déjà trouvée (g 3o6.)
340 Théorème. Les aires correspondantes ont un rap-
port comtant dont la valeur est égale à -.
Considérons d'abord deux triangles correspondants ABC,
A I B , C , ; en désignant par S et S, leurs aires respectives, nous
allons montrer que
îî», a
Les deux trapèzes ABa6, A.B,a6, ont même hauteur ; leurs surfaces sont donc dans le rapport des longueurs : Aa -f- B^ et A,a -+-Bj6. D'ailleurs, nous avons
Aa W b K^ol" hfi^ a'
d'où.
Aa-I-B6
a A,a-+-Bi6
Ainsi, les trapèzes considérés ont leurs surfaces dans le rapport de 6 à a.
Écrivons donc, d'après cela,
ABaS BC6y CAj^ A,B,a6 "" B^CjÔY " C^A^Ya
nous en déduisons
ou, enfin,
ABg6-hBC6Y — CAya ^ A,B,a6-hBiC,6Y— C,A,Y^ ^ ^'
ABC b
A,B,Ct "a
Ainsi, la propriété en question est vraie pour deux triangles correspondants ; par suite, pour deux polygones correspondants et, gar l'extension ordinaire, pour deux aires quelconques limitées par des circuits correspondants.
341. Corollaire. Vaire de V ellipse est égale à r.ab. En effet Taire du cercle principal est à r.a* ; celle de l'ellipse,
d'après le théorème précédent est ica* - , ou 'nab.
849. Théorèmes d'Apolloolas W démonstration). Soient OM, ON deux diamètres conjugués ; prenons les poinls M|, Niy correspondants des points M et N ; nous savons que Tangle M^ON, est droit.
Fig. 138.
Les deux triangles OM,P, ON,Q sont deux égaux et nous avons :
OQ = M.P, OP = N.O,
et, par suite,
MP =- M,P = -OQ ; NQ z: - N,Q n - OP. a a , a a
Cette remarque étant faite, nous pouvons écrire :
Om' = OP' -+- MP' = OP* -h ^ OQ*'
m zzÔQ* H- NQ* =ÔQ* 4- Aôf*-
Cw
Ces relations donnent ;
OM
()N'=:(OP*-f-OQ'j^+^).
Remarquons, enfin, que :
OP + OQ = OP -h M,P = a\
et nous avons :
OM -f-OQ zzti*-hb\
C^est le premier théorème d'Apollonius.
Considérons maintenant les deux triangles correspondants
a* OMN, OMjN, ; celui-ci a pour surfece — ; celle de OMN est
donc (§ 340) égale à - . —, ou — . Cette remarque constitue,
précisément, le second théorème d'Apollonius.
3413. Problème. Trouver^ en grandeur et en direction Jes axes d'une ellipse, quand on connaît, en grandeur et en direction, deux diamètres conjugués.
On peut déduire des considérations précédentes, une solution élégante de ce problème, que nous avons déjà résolu (§3i3) par la méthode de Chasles.
Fig. 129.
Soit M, le point correspondant de M; joignons OM^ et par le point M menons au grand axe une parallèle MK, jusqu'à sa rencontre en K, avec OM^.
Construisons le rectangle KMMJ, et montrons que nous
avons :
i» NOl 1=1 droit, a» yi = ON.
Les triangles semblables OKS, OM|P, donnent :
OS KS MP h OP'~M,P"'Mir"â*
Nous avons vu tout à l'heure que
NQ = -OP; a
les longueurs OS et NQ sont donc égales et comme IS = MjP z: OQ, nous voyons donc que les deux triangles rectangles NQO, lOS sont égaux. Cette remarque prouve, du même coup^ les deux propositions avancées.
De ces considérations géométriques, on déduit la construction suivante :
OM et ON étant les diamètres conjugtiésdonnés, on élève à ON, du même côté que OM, une droite perpendiculaire y sur laquelle on prend 01 = ON ; on joint MI et F on prend le milieu R, de cette droite MI. Si du point R comme centre^ avec RI =: RM, pour rayon, on décrit un cercle, ce cercle détermine les points K etU^; 1® les droites IK, KM sont les directions des axes, a® OK et OM, représentent la grandeur des axes.
84Ufl. Interprétation içéométriqae de In tmnsfonMition précédente.
La relation
MP b M,P""â'
prouve que si Ton fait tourner le cercle principal autour de ox, d'un angle f , compris entre o et - , et déterminé par
Tégalité
le point M|, dans sa nouvelle position, se projette sur lepl^fl de Tellipse, pécisément au point M. Ainsi : F ellipse peut être
considérée comme la projection de son cercle principal, quand on fait tourner le plan de ce cercle^ autour du grand axe de rellipse, d^un angle aigu ayant un cosinus égal au rapport du petit axe au grand axe.
1. SoU AB une corde de Vellipic, parallèle au grand axe ; au point B on mène la tangente qui rencontre oy en C; par les points Xet Con trace des parallèles aux axes de l'ellipse : ces droites se coupent en un point 1 dont on demande le lieu géométrique.
Ce lieu est une quartique Q : démontrer que la tangente à Q, au point I, et la tangente au cercle principal au point correspondant à Â, coupent ox en deux points symétriques du point de rencontre de ox avec AL
Od Toit immédiatement que Q est une transformée de Tellipse par les formules :
a; = X, y\ — b*. (V. Leç. i6; exerc. j.)
S. On considère Vellipse qui correspond à VéqueUion
et la quartique Q/ qui a pour équation
Déduire la remarque faite dans V exercice précédent^ une construction de la tangente en un point de cette courbe Qf. Oo considère d'abord la quartique Q qui a pour équation :
l't l'on trausforme cette courbe Q par les formules :
LHTPERBOLE
34U^. Forme de la courbe. Lorsque dans Téquation réduite des coniques qui ont un centre
on suppose S < o, S' et S" ont des signes contraires et l'équation précédente peut s^écrire sous la forme
Prenons sur Taxe des x deux points A, A% tels que OA :r OA' zz a, et sur Taxe des y les points B,B', tels que OB r: OB' z=l b. Nous dirons que A,A' sont les sommets réels, B et B' les sommets imaginaires de Thyperbole. Les droites, SS^ RR', diagonales du rectangle construit sur les axes, et qui correspondent à Téquation
sont les asymptotes de la courbe (§ i55) on peut d'ailleurs montrer directement que si Ton considère un point M de rhyperbole, et le point N de la droite RR', qui correspond à la môme abcisse, ona: i°NP>MP, a'^limMN^io, pourarnoD. On voit aussi que la courbe n'a aucun point dans Tiniérieur des parallèles menées à OY par les points A et A' ; et
qu'à toute valeur de a?, plus grande que a, correspondent, pour y, deux valeurs égales et de signes contraires. La courbe a donc la forme générale indiquée par la figure ci-dessous.
Fig. i3o-.
Nous ne voulons pas entreprendre pour Thyperbole, une élude aussi détaillée que celle que nous avons faite pour rellipse ; parce que la plupart de ces nouveaux calculs seraient une répétition, sans intérêt, des calculs analogues faits sur Téquation de Fellipse. D*ailleurs Tégalité
représentant une ellipse, ou une hyperbole, suivant le signe do produit AA', on comprend qu'en adoptant cette notation, un calcul quelconque, et le résultat auquel il conduit, sont également applicables aux deux coniques à centre.
Il suffit d'observer que les calculs effectués pour l'ellipse peuvent être appliqués à l'hyperbole, en changeant, dans les premiers, 6* en — V. En particulier la lettre c, dans l'hyperbole, représente la longueur y/a* + V.
11 faut aussi faire cette réserve que, parmi ces résultats, certains peuvent être réels pour Tune des courbes, et imaginaires pour l'autre. C'est cette distinction, entre les résultats réels et imaginaires, qui nécessite Tétude spéciale que nous allons faire de l'hyperbole, en nous attachant, principalement, à signaler les points qui différencient cette courbe, de l'ellipse.
SiftO. C^nstraetion de l'hyperbole, poiot par point.
Db. L. Tome II.
La construction que nous allons indiquer et qui permel de trouver rapidement un grand nombre de points de l'hyperbole présente la plus grande analogie avec celle que nous avons indiquée pour lellipse (§ 282).
Soit M un point de l'hyperbole et soient a;', y' ses coordonnées. Joignons MA; la perpendiculaire élevé à MA au point A, rencontre A'M en un point I qui décrit une droite, quand M parcourt l'hyperbole.
En effet, Téqualion de AM élanl
celle de Al sera,
(1) y y' — -{x- a)ix'—a).
Fig. i3i.
D'autre part l'équation de A'I est
Les relations (t) et (2) donnent, par combinaison, et en supprimant le facteur y auquel correspond une solution singulière,
LHYPERBOLE 46b
Mais on a
le lieu du point I est donc la droite A, qui correspond à réquation :
(r - Ir a -hb
Lorsque le point M s'éloigne de Tinfini sur Thyperbole, la droite A'M a pour position limite la droite A'B. On voit ainsi, et Ton vérifie facilement par le calcul, que A passe par le point H projection du sommet A, sur A'B. On comprend donc comment, étant donnés les sommets de Thyperbole, on pourra construire la courbe, point par point, au moyen d'une règle et d'une équerre.
Lorsqu'on suppose an 6, en d'autres termes, lorsque l'hyperbole proposée est équilalère, la droite A est l'axe oy lui-même.
9ift9. Représentation d'an point de l'hyperbole.
1* Si Ton compare les égalités :
sec* 9 =: 1 -f- tg" 9,
on voit que Ton peut poser
(P) --— î- ^'-!iîLf:
a COS9' ^ coso'
et lorsque 9 varie de o à 2-, le pointcorrespondant (a?', y') décrit l'hyperbole.
On peut déduire des formules (P) une construction, point par point, de l'hyperbole. Sur AA' et BB' comme diamètres décrivons des cercles et prenons, sur le premier, un point quelconque M'. La tangente en M' rencontre ox en P et si
nous élevons à ox, une perpendiculaire MP égale à M'P', le point M, ainsi obtenu, est'un point de Thyperbole.
Fig. i3;j.
a° L'identité :
qui, sous une autre forme, nous a déjà servi dans l'étude de Tellipse (§ 283), permet de poser :
t désignant un paramètre pouvant varier de — » à -+- <».
On déduit de ces formules (P) et (P') des formes diverses pour représenter Téquation de la tangente et celle de la normale à rhyperbole. Nous résumons ces résultats dans le paragraphe suivant.
3418. Formules relatives à l'hyperbole.
i<» Formes diverses de V équation de la tangente.
ocjcf yy'
r-sin ? zicosç.
(T4) yz:zmx±\/a*m*—b\ 2" Fonnes diverses de P équation de la normale.
(Na) S
sin 9 cos 0 ax *y «. ^*
(N4) yzzmx
3* Équation de la polaire,
4* Equation du faisceau des deux tangentes.
W b' VU* à' l^\a' y
De ces formules, on peut déduire diverses propriétés de rhyperbole, propriétés toutes semblables à celles que nous avons trouvées par Tellipse. Mais, sans nous arrêter, pour la raison déjà donnée, à reproduire ces calculs, nous nous proposons d'étudier Thyperbole, en visant plus particulièrement les propriétés de cette courbe qui se rattachent à la considération de ses asymptotes.
