THEOREMES RELATIFS AUX ASYMPTOTES
8419. Théorème I. Lorsqu'un point M s'^éloigne à Vinflni sur une hyperbole H, la tangente A au point M apour position limite une des asymptotes de la courbe.
Celte proposition a déjà été démontrée, pour une courbe d'un degré quelconque ; nous nous proposons de la vérifier pour l'hyperbole.
Soient x'y' les coordonnées du point M (fig. i3o), et soit MT la tangente en ce point.
Les formules (P') prouvent que si le point s'éloigne à Tinfini sur la courbe il faut supposer / — i , ou / — — i . En supposant / = 1, réquation (T,) donne, à la limite,
Cette équation représente Tune des asymptotes ; laulre asymptote, celle qui correspond à Téquation
s'obtient en supposant tzz — \.
3SO. Théorème II. Le produit des distances ctun poirU quelconque de ^hyperbole à ses asymptotes est constant.
Prenons pour nouveaux axes de coordonnées les asymptotes OX, OY de riiyperbole. En désignant par aa l'angle des asymptotes dans lequel est renfermée la courbe, les fonnules de transformation sont
x-zz\ cos a -f- Y COS a, y zz Ysin a — Xsina.
L'équation de Tbyperbole, dans le système YOX, est donc (X cos a -f- Y cos a)* (Y sîn a — X sin a)*
Nous avons, d'ailleurs.
tga 1= ^, a
ou,
sin a cos a sin' a cos* a i
ab ■" ^« ■" ^' —a* +6*'
En tenant compte de ces relations, Tégalité (i) devient :
(H) XYzz
C'est l'équation de Thyperbole rapportée à ses asymptotes. On en déduit la propriété énoncée, ou la suivante : fe parallé-
Cf
Fig. j33.
logramme dont les côtés sont parallèles aux asymptotes de rhyperhole et dont deux sommets sont : i*^ le centre de la courbe^ a* un quelconque de ses points ; a une surface constante.
3&1. Théorème III. La tangente en un point de rhyperhole est partagéCypar le point de contact et par les asymptotes, en deux parties égales.
Prenons Thyperbole rapportée à ses asymptotes. Soient X', Y' les coordonnées du point considéré M. L'équation (H) donne, pour Téquation de la tangente en ce point
XY + YX' zz ^^^--!^—.
Nous avons, d'autre part,
Cçs deux relations donnent, par combinaison,
Cette relation prouve que Ton a OA = 2X' — 2OO (fig. i33).
Le point M est donc le milieu de AB.
Cette propriété permet de construire la tangente en un point donné de Thyperbole, avec la règle, puisque AB est parallèle à la diagonale RQ du parallélogramme OMRQ.
On voit aussi que la surfoce du triangle OAB est double de celle du parallélogramme OMRQ ; propriété remarquable qui peut s'énoncer ainsi : le triangle formé par les asymptotes de Vhyperhole et une tangente quelconqtiey a une surface constante.
3&9. Théorème IV. Les segments GC^DD' (6g. i33)tnterceptéSy sur une transversale quelconque, par Vhyperbole et par ses asymptotes y sont égau^x.
Posons OC, zzp, OD' m q ; Téquation de la transversale est alors
L'intersection de cette droite avec l'hyperbole donne deux points C, D dont les abcisses vérifient Téquation
ou.
4g La demi-somme des racines de cette équation est égale
-^ -. Amsi - IL 2
à -. Ainsi - représente Tabcisse du point I, milieu de la
