OS =: OA . OA

Pour obtenir le point S il suffit donc de décrire sur AA' comme diamètre une circonférence, de lui mener par 0 une tangente OT et de tracer du point 0 comme centre, Tare TS, comme Tindique la figure.

La solution précédente est aussi celle du problème suivant : Construire une hyperbole^ connaissant les asymptotes et un point de la courbe.

3SS. Théorème VI. La directrice qui correspond à un foyer F est la droite qui joint les projections de ce point sur les asymptotes.

Nous définissons, élémentairement, les foyers de Thyper-

Fig. iX\

bole deux points situés sur l'axe transverse de Vhyperbole à

une distance czz + y/a* -i- Ij* , du centre.

La directrice est la polaire du foyer.

D'après cette définition, le foyer F s'obtient en construisant le triangle rectangle OAG et en prenant OF = OG.

Si du point F on abaisse une perpendiculaire FH sur Tasymptote, on obtient deux triangles égaux OFH, 0A6 et Ton a

ÔH* = OD . OF,

ou 9

La polaire du foyer F étant la droite qui a pour équation

on voit que DE est la directrice correspondante au foyer F.

On reconnaît de même que la droite D'E\ symétrique de DE par rapport à OY, est la directrice du second foyer P.

La considération des deux foyers F, F' et des directrices correspondantes donnent naissance à des propriétés analogues à celles que nous avons démontrées pour Tellipse, et nous nous bornerons à énoncer les suivantes :

1** La différence MF' — MF est constante et égale à A.A'.

a« La tangente à Vhyperhole^ au point M, est bissectrice de V angle F'MF.

y Le rapport des distances d'unpoint de Vhyperhole au foyer

et à la directrice correspondante, est constant et égal à-.

8&B. Transfformatloii homojn^rapliique de l'hyperbole. Si Ton prend pour formules de transformation :

ab bY à l'hyperbole qui a pour équation

correspond la courbe qui correspond à Téquation

c'esl-à-dire le cercle U, décrit sur Taxe non Irans verse. A une droite S ayant pour équation

y zz mx -h n,

correspond une droite A dont Téquation est

Y rz MX + N,

en posant

M r: r » N =r ma.

Ces relations conduisent, entre autres conséquences, aux propriétés suivantes :

1* S parallèle à une direction fixe ;

A passe par un point fixe situé sur Taxe des y. 2" S passe par un point fixe situé sur oy\

A reste parallèle à une direction fixe. 3» 1,1' sont des droites rectangulaires ;

A, A' coupent Taxe des y en deux points qui sont vus du sommet réel de Thyperbole sous un angle droit.

4** 5,5' sont des droites ayant des directions conjuguées; A, A' coupent oy en deux points conjugués harmoniques par rapport aux sommets imaginaires de la courbe. o« 0,5' coupent Taxe des y en deux points conjugués harmoniques par rapport aux sommets imaginaires de rbyperbole ; A, A' sont deux droites rectangulaires.

6* 3,3' sont les asymptotes de la courbe ;

A,A' sont les parallèles à Taxe transverse, menées par les sommets imaginaires.

On peut déduire de ces lois de correspondance des propriétés diverses de l'hyperbole ; on peut aussi, au moyen de la transformation précédente, résoudre, avec la règle et le compas, les problèmes qui sont relatifs à la construction des tangentes, ou à la recherche des points communs à la courbe et à une droite de son plan.

f . Tout point de l'hyperbole est à égale distance du foyer et de la directrice correspondante; cette dernière distance étant comptée parallèlement à une asymptote.

«. Soit AB une corde quelconque de V hyperbole; par les points A,B oh mène des parallèles aux asymptotes; démontrer que la seconde diagonale du parallélogramme ainsi construit ^ passe par le centre de la courbe.

3. On considère deux tangentes à Vhyperbole; soient A, B et A',B' Its points où elles rencontrent les asymptotes; démontrer que la droite qui joint les points de contact passe par les milieux des segments AX^^BB' interceptés par les tangentes considérées sttr les asymptotes,

4. Le lieu géométrique des extrémités des diamètres imaginairesj conjugues des diamètres réels dune hyperbole donnée ^ est une hyperbole.

L'équation de la première hyperbole étant :

le lieu cherché a pour équation :

Ces deux hyperboles, (H), (H'), ont reçu le nom d' hyperboles conjiiguètf.

On remarque qu'elles ont les mêmes asymptotes ; en prenant ces droites pour axes de coordonnées, les équations de deux hyperboles conjuguées sont :

XY = m\

XY zz — m\

5. On mène à une hyperbole une tangente qui rencontre 1" les asymptotes aux points k et B; 2" l'axe ox en C et taxe oy en D ; si Von désigne par M le point de contact, démontrer que les cercles décrits sur AB et sur MD, comme diamètre, ont leur axe radical passant par le point C.

6. Démontre}' que si Con considère la courbe qui a pour équation y=:f[x\ et si l'on désigne par S la surface comprise entre deux ordonnées, la courte et Vaxe ox,

S^ — y s in 0 :r f{x) s in 0,

S^ désignant la dérivée de S par rapport à x.

Déduire, de là, le théorème suivant :

Théorème. Soit H une hyperbole rapportée uses asymptotes ox,oy,ei soient M, M', deux points quelconques de H; la surface du triangle MOM' est équivalente à celle du trapèze curviligne formé par Vaxe MM', une de$ asymptotes ox, et les parallèles à oy menées par les points M, M'.

Nous avons montré précédemment (§ 204) que dans le cas où Ton avait B 1= o, Téquation du second degré pouvait être ramenée à la forme réduite :

(F) y* — 'ipxzzio,

les axes étant rectangulaires. Nous nous proposons de faire,

d'après cette équation, une étude particulière des courbes

qu'elle représente et que nous avons appelées des paraboles.