Construction de la parabole point par point
Soit A un point de la courbe ; joignons OA et menons au point 0, à cette droite OA, une perpendiculaire jusqu'à ce qu'elle rencontre en A' la parallèle à Taxe menée par A. Le triangle rectangle AOA' donne :
ÔTi'^A'H.Air,
ou,
Ainsi A'H est égal à ap ; le lieu du point A', quand A se déplace sur la parabole P est donc une droite A, perpendiculaire à l'axe, et à une distance du sommet égale à — ap.
Si l'on connaît, en même temps, que Taxe et que la tangente au sommet de la parabole, le paramètre p, ou un point de la courbe, on pourra construire la droite A ; puis, avec réquerre, obtenir, par une construction rapide, autant de
points de la parabole que Ton voudra, comme l'indique la
figure.
Fig. i36.
3&8. Diflérentes formes de l'équation de la
H^ente. L'équalion générale des tangentes, appliquée à (P), donne
(T.) yy' =zp{x-\-a:f),
c est une première forme de l'équation de la tangente MT. Si- Ton observe que (TJ est vérifié par y — o, a: i= — a/, on voit que la sous-tangente est double de rabcisse.
De cette propriété on peut déduire une construction de la tangente, en un point M pris sur la parabole. Puisque OQ = OT, si, du point M, on abaisse la perpendiculaire MR sur la tangente au sommet, la figure MROT est un parallélogramme. Pour obtenir MT, il suffit donc de joindre OM et d'achever le parallélogramme dont OM et MR sont deux côtés ; la diagonale MT est la tangente cherchée. On remarquera que cette construction n'exige que l'emploi de l'équerre et de la règle.
Cherchons^ maintenant^ d'autres formes de l'équation de la tangente.
La relation
(i) y'*-2px\
peut s'écrire,
on a donc, pour représenter un point M de la parabole, les formules
formules dans lesquelles le paramètre t représente le coefficient angulaire de la droite qui va du sommet, au point M. Ces formules donnent, pour la tangente en M, l'équation suivante :
Pour obtenir une forme trigonom étriqué, on peutremarquer que la relation (i) peut s'écrire
De L. Tome II. «^^
TRENTE-CINQUIÈMK LEÇON
. Par suite, on peut poser
rr sin 9, et
zz cos 9
Ces formules donnent :
x' iZ' cutg -, eiy' -p colg-.
On est ainsi conduit à une forme Irigonométrique qui rentre
9 t dans la forme (T3), en posant tg - z= —
Enfin, en identifiant Téquation (T,) avec la suivante :
y zz mx -(- w,
ou encore, en exprimant que la droite que cette équation représente rencontre la parabole en deux points coïncidents, on trouve
On a ainsi cette troisième forme de Tëquation de la tangente, forme souvent employée,
(T.) y:rina;-f--4.
De cette équation, on déduit immédiatement, en raisonnant comme nous Pavons fait précédemment (§ 280), dans un cas analogue, que le lieu des points d'où Von peut mener à la parabole deux tangentes rectangulaires est la droite qui a po^ équation
Celle droile est, comme nous l'avons vu, la directrice de là parabole.
On voit aussi, sans difficulté, par Tune ou Tautre des équations (T,), (T,), ou (T,)que la podaire du foyer est la tangente au sommet.
3&0. Polaire. L'équation delà polaire du point {x',y') est
Si Ton cherche rintersection de celte polaire avec la courbe, les ordonnées des points communs sont données par Téquatiori.
y* — lyy, — -^px' zz o.
La somme des racines étant égale à ay', on voit que : la droite qui joint le pôle au milieu de la corde polaire est parallèle à Vaxe.
360. Équation de ia Monnaie. Soient x\ y' les coordonnées d'un point de la parabole; la normale en ce point a pour équalion
x — x' ^y — y ou,
Celle relation prouve, incidemment, que la sous-normale est constante et égale à p.
En identifiant (i) avec l'équation suivante
on a :
et^ par suite,
w-f-pm
En tenditt compte de Tégalite
y'^zzipody
on trouve,
— n^pm
pm
L'«quation générale des normales à la parabole est donc
(N) y::im(Jî— p) —
pt»*
aei . Développée de la parabole. L^enveloppe des nor-
Flg. i38.
maies à la parabole s'obtient en écrivant que Téquation précédente admet deux racines égales par rapport au paramètre m.
LA PARABOLE 4Si
L'application d'une règle connue (Alg.^ § 4û6) donne, pour réquation de la développée,
Cette courbe, qui est une parabole cubique, a la forme indiquée par la figure. En cherchant son intersecUon avec la parabole donnée, on doit résoudre Féquation :
(i) 2yp*x=:i(x—py.
Le théorème de Rolle, appliqué à cette équation^ prouve que
^ -, nombre qui fait partie de la suite de Rolle, vérifie Té-
qualion (i). Celle-ci admet donc deux racines égales à — -.
Les courbes P et Q ont un double contact imaginaire, sur la directrice. On trouve ensuite des points réels M,M^ communs à P et à Q, et ayant pour abcisse 4p.
3B9. Cerele de Joachimsthal. L'équation (N) étant du troisième degré en m, on voit que du point A du plan, partent, dans le sens analytique de ce mot, trois normales à la parabole. Nous allons chercher Féquation du cercle qui passe par les pieds de ces normales.
Soient x^, f/o, les coordonnées du point A ; soient aussi x, y, celles du pied R de Tune des normales issues de A. En exprimant que réquation de la normale au point {x, y)
est vérifiée par les coordonnées de A, on a
a? — a?o y» — y P " y ' ou,
(H) iry + y(p — a;o)— />yo = o.
C'est réquation de Thyperbole équilatère aux pieds des
*82 TRENTE-CINQUFÈME LEÇON
normales. Elle a, avec la parabole, un point commun situé à rinfini dans la direction oo?, puisque Tune de ses asymptotes est parallèle à Taxe de la parabole. Les trois autres points communs sont situés sur une circonférence, dont nous allons chercher l'équation (*).
L'équation (H) peut s'écrire ;
a?l/* + y' (P — a?o) — py^y = o,
Ou, en remplaçant y" par ipx, et en divisant par 2jo,
En combinant cette équation av^c celle de la parabole, on a, finalement,
On voit que ce cercle passe par le sommet de la courbe et on peut énoncer le théorème suivant qui n'est d'ailleurs que ïe théorème de Joachimsthal, appliqué à la parabole : les pieds des trois normales issues d'un point à une parabole et le sommet de cette courbe forment un quadrilatère inscriptible*
âG3. Pôle tangentiel et pôle normal. Soit A' un point quelconque du plan de la parabole, menons les tangentes A'R, A'S et construisons les normales aux points R et S, normales qui se coupent au point A. Nous nous proposons de calculer les coordonnées Xo, Voy de A, connaissant les coordonnées x'y y\ de A'.
Le cercle A', décrit sur AA' comme diamètre, a pour équation
OU
(i) x*-hy* — x{Xo-^x') - y (j/o + y) + ocq x'-^y^y' n o.
I. Voyez, sur ce point la note placée à la fin de ce livre (§3).
Le cercle A' et le cercle de Joachimsthal ont pour axe radi* cal la droite RS; d'après (i) et (J), RS a pour équation
(2) a:(a/ — p)H-t/ l-^-hy'j — XoOc'—yoy'zzo,
En considérant RS comme la polaire du point A', son équation est
En identifiant (2) et (3), on a
Vo-h^y' ^p — x' x^ -h yoy'
et ces formules donnent
pa/
Ces relations, comme les formules analogues que nous
Fig. 139.
avons établies pour Tellipse (§ 292), permettent de ramoneur la recherche du lieu décrit par le pôle normal A, à celle du lieu décrit par le pôle tangentiel A'.
Par exemple, si Ton demande le lieu décrit par le point de concours de deux normales rectangulaires,' on remarquera que le point Â' décrit la directrice et que Ton a, par suite,
Les formules Pn donnent alors :
En éliminant ^\ et en considérant Xo, Voy comme des coordonnées courantes, on a Téquation du lieu
Cette équation représente une parabole.
8B4I. Centre de courbare. Si Ton suppose que les deux points R, S viennent coïncider en M, le pôle normal a pour position limite le centre de courbure w, en ce point M.
Les formules P„, quand on suppose y" = apj/, donnent
L'égalité (C) prouve que si Ton considère la directrice DD', comme Ton a
HKz:a/-+--. et KIiziTo — a?';
on a, par suite,
Kl zz aHK.
Ainsi Mw est double de MD ; cette remarque conduit à une construction très simple du centre de courbure : on trace la normale au point considéré, jusqu'à sa rencontre avec la directrice et Von port^y dans Vautre sens, une longueur
double de celle qui est interceptée sur la normale par la directrice et le point considéré.
Fig. i4o.
Si, entre les égalités (G), (C), et la relation y'* rr ^poo', nous éliminons x' et y', nous obtenons
Nous retrouvons ainsi, en considérant Xo et yo comme des coordonnées courantes, l'équation de la développée de la parabole, et ce résultat est une vérification des calculs qui précèdent.
SOS. Diamètres. Considérons la droite, qui a pour équation
yz^mx-h'ky
et supposons que, w restant fixe, X soit un paramètre variable. Les abcisses des points communs à celte droite et à la parabole sont les racines de l'équation
{mx -f X)* — ^px.
Par suite Tabcisse X de I, point milieu de la corde considérée, est donnée par la formule
TRENTE-CrNQUlÈME LEÇON
D'autre part, Tordonnée Y du point I, vérifie Tégalité
(a) Y = wX4-X.
Entre les équations (i) et (a) éliminons X et nous avons
ou,
m*Xz=p — i?i(Y — mX),
Cette équation représente une droite parallèle à l'axe ox ainsi : dans la parabole tous les diamètres sont parallèles à taxe de la courbe.
Nous vérifions, de la sorte, par le calcul, une proposition déjà établie (§ 182). Il est facile de reconnaître que, réciproquement, toute droite A, parallèle à Paxe de la parabole^ partage en deux parties égales les cordes parallèles à la tangente à la courbe y au point qui lui est commun avec A.
3G6. Équation de la parabole rapportée A une tang^ente et au diamètre tïonjusué de eetic tang^ente*
Fig. 141.
Soient a?', y' les coordonnées du point 0' ; transportons les
axes, parallèlement à eux-mêmes, en ce point. Les formules :
donnent, pour l'équation de la parabole dans le système Yo'X
V — ay'Y — 2pXzzo.
Prenons maintenant pour nouveaux axes de coordonnées la tangente o'Y' et le diamètre o'X. En désignant par a l'angle Y'oX, nous avons :
X = X' + Y'cosa, et Y^ = Y'sina.
L'équation transformée est donc
\'"sin*a — î^'Y^sina— 2joX'— îpY'cosoc no,
V^î^X'; en posant
et, en remarquant que
La formule (i) prouve que Ton a, finalement,
p'zzp-h2 x\
3G9 . Parabole considérée csoninie limite d'une conique À centre. Considérons, par exemple, une ellipse rapportée à ses axes ordinaires et transportons les axes, parallèlement à eux-mêmes, au sommet A. Les formules de transformation sont :
a; — X — a, y zz,\\
et réquation de l'ellipse devient
en posant :
(S) Y- = apX-h^X*,
p = -, et qzz- -..
Cette équation, que Ton peut établir directement, par une réduction de Téquation générale, représente toutes les coniques quand on prend pour origine un des sommets de la
courbe et^ pour direction des axes de coordonnées, les direc* tions principales de la conique.
Imaginons que a et 6 croissent indéfiniment, mais sous
cette réserve que le paramètre — reste fixe ou, s'il est variable, qu'il ait une limite finie, et bien déterminée. En remarquant que ^ zz — -, nous voyons que : Lim q zz o\ par
conséquent, les ellipses considérées se sont déformées, mais ont pour position limite la courbe qui correspond à réquation
y' — ^px = 0,
p étant le paramètre fixe, ou la limite bien déterminée de ce paramètre, quand on le suppose variable.
On peut, de cette remarque, déduire Textension à la parabole de propriétés démontrées pour les coniques à centre ; on peut aussi obtenir, de certaines formules relatives à ces coniques, des formules correspondantes pour la parabole.
Nous terminerons cette étude de la parabole par la démontration de deux propriétés importantes, particulières à cette conique.
SB8. Théorème. Le centre des hauteurs d'un triangle circonscrit à la parabole est toujours situé sur la directrice.
Considérons trois tangentes à la parabole, ayant respecti*vement^ pour équation :
Les coordonnées du point A,, point de concours des droites T„ T„ sont, d'après ces équations,
p __jp m, -f-m,
*Ct I^ . Vi -^ "• •
L^équation de la perpendiculaire abaissée du point A, sur T, est donc
Si nous cherchons Tintersection de (i) avec la directrice, il faut, dans cette équation, remplacer x par — -; nous avons alors
^ » ^ .^ f. ^ (^'** *'*« + *'*« ^^i -^ ^^^ "^ + 0a m, fit, 77t|
Le second membre de celte égalité étant une forme symétrique des lettres m^y m,, 7^3, nous voyons donc que Y, =: Yj zi Y3 ; ainsi, les trois hauteurs du triangle A^ A,Ai coupent la directrice au même point.
3G9. Théorème. Le cercle circonscrit au triangle forme par trois tangentes quelconques de la parabole passe loujoun par le foyer.
Cette propriété est la conséquence géométrique, tout à fait immédiate, des propriétés élémentaires de la parabole. Elle résulte, par exemple, de ce fait que les pieds des perpendiculaires abaissées du foyer sur les tangentes étant situés en ligne droite, les sommets d*un triangle circonscrit à la parabole, et le foyer de cette courbe, sont situés sur la même circonférence (réciproque du théorème de Simson).
i . On considère quatre droites Ai, A^, Aj, A4, qui se coupent ^ deux à deux; soit Ci le cercle circonscrit au triangle A2 Aj A4, et soit b>i son centre.
Démontrer que les' quatre points toi, wi, 0)3, (04, sont situés sur un cercU passant par le foyer de la parabole tangente aux droites données.
(Théorème de Miquel.)
ÎC. Vénfier que le foyer V de la parabole est aussi un foyer de la décelop'
pée.
Eu général, le foyer d'une courbe est aussi un foyer de la développée. En prenaut pour origine le sommet de la développée A de la parabole et eu exprimant que les deux équations :
admettent une solution double, on trouve Les deux tangentes imaginaires issues de F à A, ont pour équation :
elles sont doue parallèles aax directions isotropes du piau.
S. Démontrer que Vaire d'un segment parabolique est les - du triangle for-
mé par la corde A B e< les tangentes aux extrémités de cette corde.
On prendra la parabole rapportée au diamètre conjugué deAB et à la laugente parallèle a AB et on écrit (leç. 34, el. 5} :
Sf — / — > à.
sia ô V Z' «^ '
d'où -
SzZ'-xy sin 6.
4. ThéorèMie. Si une corde mobile AB détermine avec une parabole fixe un segment de surface constante^ la projection de AB sur la tangente au sommet, est constante.
5. Démontrer quê si X, Y représentent les coordonnées d'un point M pris dans le plan de la parabole qui correspond à l'équation
y* — 2px — 0.
La fonction Y* — 2p\ représente le produit par ap, de la distance du point M à la parabole^ distance comptée parallèlement à l'axe.
6. Démontrer que la parabole, lieu des points d'où Von peut mener à une parabole donnée V, deux normales rectangulaires, est doublement tangente à la parabole cubique, développée de P.
Y. TbéorèBie. Le diamètre d'un point M, rencontrant la polaire de M en A, et la parabole en Bf on a
BM =z BA.
