CONSTRUCTION DES COURBES. — LES COORDONNEES POLAIRES

3*90. Dans la première partie de ce dernier livre de la géométrie plane, nous compléterons les principes établis jusquïci et qui permettent de tracer la forme générale des courbes qui correspondent à une équation cartésienne donnée ; nous les appliquerons aussi à quelques exemples. Dans la seconde partie, nous étudierons les courbes dont Téquation est donnée en coordonnées polaires. Enfin une dernière leçon sera consacrée à légitimer ce mot de coniques dont nous noQS sommes servis pour désigner les courbes du second degré : nous ferons voir que ces courbes sont bien des sections planes du cône droit, à base circulaire, et cette étude nous servira de transition naturelle pour passer à la géométrie analytique à trois dimensions.

I. Pour ue pas étendre, outre mesure, la rédaction de cette leçon tout en y faisant entrer les principaux problèmes qu'elle comporte, certaines démonstrations très élémeutaires sont seulement indiquées. Le lecteur 8ii|>pléera facilement aux lacunes que nous signalons ici.

Nous nous occuperons, d'abord, de la construclion des coniques. Le problème que nous allons traiter peut se définir dans les termes suivants : étant donnée une équation du second degrés on suppose que la conique qu'elle représente^ vérifie un certain nombre de conditions élémentaires^ telles sont les suivantes : passer par un point connu ; être tangente à une droite donnée y etc., ;et F on propose de déterminer les éléments principaux de la courbe : le centre^ les foyers^ les axeSy etc.

Dans d'autres cas, ces conditions élémentaires sont données directement et en nombre suffisant pour déterminer la conique.

A ce propos, nous dirons qu'une co7idition géométrique imposée au tracé d'une courbe est d'ordre p, lorsqu'elle exige, pour être remplie, que les coefficients de P équation de la courbe vérifient p (mais non p + i) relations distinctes.

Lorsque/? = i, on dit aussi que la condition proposée est simple ; elle est double, qpiand j^ = ti, elc. On vérifiera facilement le tableau suivant qui énumère quelques-unes des conditions que Ton rencontre le plus ordinairement dans le tracé des coniques.

La conique Passe par un point ; Est tangente à une droite; A une direction asymptotiqtce donnée; A ses directions principales données; Est semblable à une conique donnée ; etc

La conique A pour centre un point donné ;

id. foyer id.;

id. sommet id.; A une asymptote donnée ;

id. directrice id.;

id. tangente au sommet donnée ; Est homothétiqueàune conique do nnét*;

De Ln Tomk II.

Condition simple*

Condition donblc*

TRENTE-SIXIÈHE LEÇON

Une conique à centre est déterminée par des conditions dont le nombre est égal à cinq : la parabole exige seulement quatre conditions.

Nous examinerons d'abord ce dernier cas.

SKM. Problème I. Construire une parabole connaissant quatre tangentes. Soient A,, A„ A„ A^, quatre droites situées dans un plan, et deux à deux concourantes.

On peut circonscrire un cercle Cj au triangle A, A, A4 ; on obtient ainsi quatre circonférences Gj^ C,, C3, C4 (^) qui, pour des

Fig. 143.

raisons géométriques faciles à vérifier, vont passer par le même point F. Si de F on abaisse des perpendiculaires sur les droites A> on obtient quatre points situés sur la même droite 6 {Th. de Simson).

Le point F est le foyer de la parabole cherchée ; 0 est la tangente au sommet. En abaissant de F une perpendiculaire sur e, on obtient Taxe de la courbe. Le foyer F, et le sommet S, sont ainsi déterminés.

1. Ces deux dernières ligoes ne sont pas tracées pour laisser plas de clarté à la figure.

œNsraucTioN des coniques

SV9. Problème II. Construire une parabole, connaissant la tangente au sommet 0, et deux tangentes T, T'.

La droite T rencontre 6 en un point A, et ce point peut être considéré comme la projection du foyer, sur T. De cette remarque, appliquée aux droites T et T', on déduit le foyer F. En projetant F sur 6, on obtient le sommet S.

893« Problème III* Construire une parabole, connaissant la tangente au sommet, et deua: points situés dans la même région.

Nous établirons ici, à propos de ce problème, une remarque qui nous servira d'ailleurs dans d'autres. occasions, et que nous énoncerons ainsi :

Théorème. Lorsqu'une transversale rencontre : i^ la para-

Fiff. i\\.

bole aux points M et N, ^^ la tangente au sommet en U, l^*" l'axe en A; on a ÎÎÂ* =: RM . RN.

Celle propriété importante peut être démontrée très simplement par des considérations géométriques ; on peut aussi la vérifier, comme il suit.

Soient (a/, y') les coordonnées de M, (x% y'^) celles de N ; réquation de MN est

y-y'=|rz::|;(«-^);

on a donc.

0A = ?^.Il4^;

D'autre part, les relations :

y'* — 2paf =: o, y" — 2paf zz o, donnent, par combinaison,

yy (y' - y') = v ic^y" — y'^)-

On déduit de là,

— 2;? . OA = y'y\

ou,

4P OA 7L y'^y"".

ou, enfin,

OA'z=xV = OP.OQ. Cette relation prouve que Ton a aussi :

HÂ* = RM.RN.

Cette remarque étant faite, en effectuant la construction qu'indique la figure, on obtient Taxe de la courbe, et la solution du problème proposé se trouve ramenée à des constructions connues.

On remarquera que la propriété en question peut être appliquée à un diamètre quelconque et à la tangente à l'extrémité de ce diamètre.

394. Problème IV. Consiruire une par aboie, connaissant la directrice D, et deux points A, B.

Le foyer se détermine en décrivant des circonférences ayant pour centres les points A et B et pour rayons les distances de ces points à D(').

89S. Problème V. Construire une parabole , connaissant la directrice D, et deux tangentes 1 etT,

Considérons Tune de ces tangentes, T par exemple. Elle rencontre D en un point A et soit T, la semi-droite qui, partant de Ay fait avec D un angle aigu a. En faisant tou'^ner

celte semi-tangente autour de A, d'un angle a^ mais dans le sens de rotation qui Péloigne de la partie considérée sur la directrice, on a une droite passant par le foyer.

La tangente T' donne, en appliquant cette construction, une seconde droite passant par le foyer. Ce point se trouve donc bien déterminé.

3VII. Problème VI. Construire une parabole, connaissant le foyer F, et deux points M, N. On remarquera que la directrice est une tangente commune aux deux circonférences décrites, des points M et N comme centres, avec MF et NF pour rayons.

899. Problème VII. Cmistruire une parabole^ connaissant le foyer, et deux tangentes T, T. En abaissant, du point donné, des perpendiculaires sur T et T', la droite qui joint les pieds de ces perpendiculaires est la tangente au sommet.

898. Problème VIII. Construire une parabole^ cannaissant r axe y et deux points. Soit xx' Taxe donné (fig. i44), et soient M et N les points par lesquels doit passer la parabole

1. Ce problème, et quelques-uns de ceux qui suivent, exigeraient une discussion : mais, poar le motif déjà donné, no as la passons sous silence et le lecteur la rétablira sans difficulté.

que Ton veut construire. Si Ton projette les points M etN sur XX* et si 0 est le sommet inconnu nous avons montré (§ 373) que Ton avait

ÔX" = OP. OQ.

D'après cela, si on détermine le point A', conjugué harmo* nique de A, par rapport aux points P, Q, on peut dire que 0 est le milieu de AA'.