OA.OB=:OH

Ainsi, en prenant le point H', conjugué harmonique de II par rapport aux points A et B, le sommet de la parabole est situé au milieu de HH'.

880. Preblénie X. Construire une parabole, connaissant quatre points.

Examinons d'abord le cas particulier où la figure formée par les quatre points donnés A, B, C, D, est un trapèze.

Fig. i46.

Imaginons une parabole passant par ces points et prenons pour axes de coordonnées le diamètre conjugué des cordes AB, CD, et la tangente à l'extrémité de ce diamètre.

:iOO TRENTE-SIXIÈME LEÇON

LMquation de la parabole est alors

Y* = np'X

et la droite AC, considérée comme polaire du point M, a pour

équation

PY = i?' (X -h a).

Les droites AC et BD se coupent sur OX, en un point K ; les droites AD et BC^ elles aussi, se croisent sur OX, au point H. La droite MH, pour des raisons connues, est la polaire du point K; elle est donc parallèle à OY. D'autre part, Téquation précédente étant vérifiée pour Y = o et pour X = — a , on voit que OK = 011.

Ainsi le point 0 est le milieu de KH et, si Ton prend OV = 01, les droites TA, TB seront les tangentes à la parabole.

On peut déterminer de même les tangentes aux points G et D, et ramener ainsi la question à celle qui a été traitée plus Laut (problème I). On peut aussi déterminer le foyer, et par suite la tangente au sommet, au moyen des seules tangentes TA, TB. En effet, le foyer est à Tintersection d'un cercle mené par r et B, tangentiellement à l'A ; et d^un second cercle mené par l'et A, tangentiellement à l'B.

Considérons maintenant le cas général et supposons que les quatre points A, B, C, D soient quelconques. Joignons AB et CD, ces droites se rencontrent en un point 0. S'il arrive que les points A et B soient situés du même côté par rapport à 0, et les points C et D de côtés différents, le problème est évidemment impossible. Dans le cas où les points A et B, d'aune pari, C et D, d'autre part, sont situés de côtés différents par rapport à 0, en prenant les droites AC et BD, ou encore AD et BC, on obtiendra un système de deux droites concourantes et telles que les points donnés soient situés du même côté par rapport au point de concours.

Prenons pour axes de coordonnées les droites OAB, OCD et posons : '

OA = a, 0B = 6; OC = c, OD-d. (a,ô,c,d>o).

œNSTRUCTION DES CONIQUES

L'équation générale des coniques coupant les axes aux points A, B, C, D est (*) (§ ^45),

Pour que cette équation représente une parabole, il faut prendre X = i , ou X = — i . Le problème comporte deux solutions et Ton peut trouver celles-ci de la manière suivante.

Flg.j47.

D*après Téquation (i), le diamètre qui passe par 0 a pour équation,

yab sjcd

La construction indiquée par la figure prouve que OM est la droite qui correspond à Téquation (i).

1. Nous remplaçons, dans Téquation du paragraphe a45, le paramètre X

par -T — ;. Cette légère transformation simplifie un peu l'écriture. abcd

TKENTE<S1XIÈME LEÇON

En menant par le point B une parallèle à AC, el en prenant RB' =: RB, B' est un point de la parabole*

On est donc ramené au cas particulier que nous avons dV bord examiné.

Si l'on observe que, dans le cas où les droites AB et CD sont parallèles, le faisceau de ces deux droites constitue une parabole aplatie passant par les points donnés ^ oq comprend pourquoi le problème, qui est du second degré dans le cas; général, se réduit au premier degré, dans le cas particulier signalé.

381 . Problème XI. Construire une parabole^ connaissant deux points A, B et deux tangentes T, T.

Supposons le problème résolu. Soit P la parabole cherchée

Fig. i48.

qui touche les droites T, T' aux points D, D' ; sî Ton joint 0 au milieu H de DD', la droite OZ ainsi obtenue est un diamètre de P. Par les points D, D', menons des parallèles à OZ

CONSTRUCTION BiES CONIQUES 503

jusqu^à leur rencontre avec AB; nous avons, par une propriété établie plus haut (§ 373),

MC' = MA.MB, et Fc* = M'A . M'B.

Supposons que les droites T et T^ ne coupent pas le segment AB.

En décrivant sur AB un demi-cercle et en lui menant des tangentes par les points M,M' nous pouvons déterminer les longueurs MC, M'C^ Remarquons aussi que OZ passe par le milieu K de CC, la droite OZ se trouve donc déterminée. La suite n^offre plus aucune difficulté.

Comme l'on peut porter MC et WC dans un sens ou dans Tautre, on a quatre points qui, combinés deux à deux, donnent quatre droites OZ. Le problème que nous venons de traiter a, en effet, comme celui qui suit, quatre solutions.

8859. Problème XV. Construire une parabole j connaissant trois points A, B, C et une tangente T.

Soient (fig. 149) A, B, C les trois points donnés situés dans la même région par rapport à T. Le théorème déjà rappelé donne la relation