La fonnule

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prouve que l'on peut construire, avec la règle et le compas, la tangente en un point d'ane courbe, lorsque celle-ci correspond à une équation rationnelle /(a7,y} = o. Mais il est toujours sous-entenda, quand on traite le problème de la construction de la tangente, que l'on cberche une solution simple et qui dépende de considérations particulières. Chasles a indiqué {Aperçu historique, p. 32i] une construction des tangentes h une courbe d'un degré quelconque. (V. Exe. a, de cette leçoU.)

s 1 6 TRENTE-SEPTIÈM E I.EÇON

Celle remarque évidente élanl faile, conslruîsons les courbes V^, Uj, ... Ua ; V„ V,, .. V, , qui ont pour équation, respeclivement,

P, = o, P, rr 0, ... Fa = o; Q^ izo, Q. = o, ... Q, rr o,

ces courbes U et V formeront, dans le plan où nous voulons construire f, une sorte de réseau donnant la séparation de ce plan en régions. Imaginons alors un espace E, limité par ce réseau; si les coordonnées a;'ety', d'un point pris dans cet espace, donnent

nous pourrons couvrir Tespace E de hachure?, pour marquer que la courbe n'a aucun bras dans cet espace.

Quand on a ainsi déterminé un des espaces où ne pénètre pas la courbe, on trouve tous les espaces E, qui jouissent de la même propriété, en parcourant le plan, après avoir pris pour point de départ un point de E, et, en notant, comme espace analogue à Ë, tous ceux que Ton obtient après avoir coupé les lignes du réseau un nombre pair de fois.

En effet, la fonction

P|P, ... Pa.Q.O, ... Qhy

change de signe toutes les fois que Ton franchit une des lignes du réseau ; elle passe ainsi successivement du positif au négatif, ou inversement; par conséquent, tous les espaces E sont tels que l'inégalité (3) soit vérifiée par les coordonnées d'un point quelconque de ces régions ; aucun bras de la courbe ne peut exister dans leur intérieur.

On remarquera que cette démonstration repose sur la continuité des fonctions P et Q ; par suite, des points isolés peuvent exister dans les régions E.

On doit aussi observer que la démonstration précédente subsiste, quand les facteurs P et Q sont affectés â>iEposanls impairs; mais si Tun deux a un exposant pair, la courbe qui lui correspond ne doit pas faire partie du réseaa.

cossTnucrioN des courbes en

' 389. Prêter exemple. Nous allons appliquer celle méthode à deux équations et nous choisirons, comme première applicnlion, \e folium de Descartes, dont nous avons déjà parlé (§«9)- L'équalion de cette courbe est (en supposant a = i),

(F) a^ + y'-ixff^o.

Celte équation m. t en évidence une première séparation du plan on régions au moyen des axes et de la seconde

bissectrice AA.'. Mais on oblienl une aulrd séparation en remarquant que l'on a

et Ton peut adjoindre aux droites déjà signalées, la droite BB' qui a pour équation

x-hy + i = 0,

cette droite BB', comme on le vérifie sans peine, est Pasymptote réelle du Folium.

La première bissectrice est un axe de symétrie de la courbe^ et les coordonnées du sommet sont égales. Tune et

Tautre, à - .

L*origine est un nœud ; les tangentes en ce point sont les axes de coordonnées.

La tangente parallèle à oy s*obtient en considérant les deux équations simultanées :

(0 f (^. y) ~ ic' H- y' — ^xy = o.

On déduit de ces équations, d'abord :

(3) ir'-2y=o; puis,

a;' + y" — ce — ay = o,

et,

xy ^2.

Le point C est donc, comme Tindique la figure, à ^inte^ section du cercle A et de Thyperbole équilatère H.

On voit de même que le point C\ point où la tangente au folium est parallèle à Ox, est situé sur cette même hyperbole H et sur le cercle A'. La détermination des points C et C n'est pas un problème quadratique, il ne peut se résoudre par le seul moyen de la règle et du compas. On trouve, en effet, en résolvant les équations (a) et (3) que

rabcisse de C esl égale à y^ J" ; celte valeur n'est pas susceptible d'une construction quadratique.

Parmi les points remarquables du folium il faut citer, tout particulièrement, ceux pour lesquels la tangente est parallèle à Taxe de la courbe. Nous allons montrer que la détermination de ces points peut se faire par la règle et le compas.

Considérons, à cet effet, les équations simultanées :

/•(a?,y)=io,

ou.

et,

(4) oc^-hy^ — ^xy zz o,

(5) ar'^-y' — jc — y = o.

Celle-ci nous apprend déjà que les points cherchés sont situes sur le cercle A''.

Combinons maintenant les équations (4) et (5), de feçon à obtenir Téquation qui représente le faisceau des droites qui joignent l'origine aux points communs à A'^ et au folium. Nous obtenons le résultat suivant :

{x+y){ x' + y') zz :Sxy {x' -h y').

2/* - 'ly^x - *ix^y -f- •^* = ».

En posant : yzifx, l'inconnue t, coefficient angulaire des droites cherchées, est donnée par l'équation réciproque :

(6) /* — 2/'— a^-h i rro.

Cette équation présente deux variations, la transformée en — / n'en a aucune ; elle a donc deux racines positives, tout au plus. D'ailleurs, en substituant successivement : o, i,a,

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et 3 ; on trouve qu'il y a une racine t' comprise entre o et i, et une autre racine t\ entre a et 3 ; ces deux racines sont inverses Tune de l'autre, comme le prouve réqualion (6).

Le calcul ordinaire des équations réciproques, appliqué à réquation (6), donne :

et ces valeurs sont suceptibles d'être construites avec h règle et le compas.

Le Folium rentrant dans l'espèce des courbes dites unicursaleSj que nous étudierons plus loin, on peut, comme nous le montrerons alors, construire ces courbes, point par point, avec la règle et le compas, d'une infinité de façons (').

La méthode par régions que nous venons d'appliquer au Folium est une de celles qui donnent, très rapidement, une indication précieuse pour le tracé de la courbe. Elle peut même s'appliquer, avec avantage, dans le cas des équations résolubles comme le prouve l'exemple suivant. ^