AA

BB' + CC" B'B'-f-G'C B"' +0"

ou,

ABC

On démontre aussi cette propriété : soit par un calcul élémentaire, soit en appliquant une formule que nous donnons plus loin et qui donne le volume du tétraèdre en fonction des coordonnées des sommets.

*. Déduire des formules d'Euler une infinité de solutions du problème suivant :

Trouver un nombre entier don t le carré soit égal à une somme de trois carrés.

En désignant par A , B , G les cosinus des angles que fait OX' avec les axes 0X,OY,OZ, les formules d'Euler, comparées aux formules (R) (§21), donnent

cos 9 cos 4^ "T sin 9 sin ^ cos 0, sin ^ cos ç 4' sin ? cos ^ cos 6, sin ? sin 0.

Mais on peut poser

La relation dooDe donc l'identité

-+- j 2<'(i -0(1 + <"') + 2f(i -o (i - nf

Dans cette identité, t,t' ,V désignent des quantités arbitraires. En prenant pour ces quantités des nombres entiers, on obtiendra une infinité de solutions entières de l'équation indéterminée

en posant :

et,

S. Démontrer que si un cylindre admet une section elliptique, hyperbolique ou parabolique f toute autre section faite dans cette surface par un plan non parallèle aux génératrices du cylindre est aussi une ellipse, une hyperbole, ou une parabole.

On prend d'abord l'axe OZ parallèle aux génératrices et le premier plan sécant pour plan XOY; puis, on effectue une transformation, le nouveau plan XO'Ï étant le second plan sécant. Les formes P*+Q% P* — Q*, ?• — Q se conservent et la proposition se trouve ainsi établie.

Pour ce motif nous appellerons cylindre elliptique celui qui admet une ellipse pour Tune de ses sections planes^ et ainsi des autres.

On remarquera, en particulier, que si une courbe dans l'espace est une parabole, sa projection sur un plan quelconque est aussi une parabole.

EXERCICES 29

Les propositions générales qae nous venons d'élablir pour les cylindres elliptique, hyperbolique et parabolique, résultent aussi de considérations géométriques très simples relatives aux points à Tinfini.

4. On considère deux cônes circulaires droits ayant des axes verticaux; démontrer que la projection de Vintersection de ces surfaces sur un plan perpendiculaire aux axes est un ovale de Descaries,

On cherchera Téquation bipolaire de la projection.

TROISIÈME ET QUATRIÈME LEÇONS

ftH, Équation d*un segment de droite. {Premières formules^) Nous établirons d'abord des formules, tout à fait semblables à celles qui nous ont servi dans la géométrie plane, et qui permettent de calculer, en fonction d'un paramètrie variable X, les coordonnées d'un point M (a?,y ,^,) mobile, sur un segment de droite MoMj, M» (Xp,Yo,Zo), M,

Projetons les trois points Mo, M,, M, sur le plan XOY, et soient 1^*0,1^1.1 ,1*, ces projections.

En désignant par X le rapport rr^—, et en remarquant que

M Mo __ {XIJLn