MM
nous avons
kH^^k
Xo -+- Xa?" 2/0 + Xy^ io + X/j Dans ces égalités nous supposons
En projetant les poinls M, Mo, M, sur le plan XOZ, nou» trouvons de même
x^ + Xo?! Xïo 4" ^^^i '0 "+" '^U
LA U6NE DROITE ET LE PLAxN 31
Les formules (i) et (2) donnent, par comparaison, X y tï l '
x^ 4- Xxi yo + >^y 1 z^ + ^2^ to -f- X^i
En employant ces formules on doit se rappeler que [x de-
signe le rapport — ^, rapport qui est pris avec le signe +»
ou le signe — , suivant que M est placé sur le segment Mo M,, ou en dehors de ce segment.
On peut aussi, si Ton préfère la notation homogène, écrire les formules (F) sous la forme :
axo-\-bx^ ayo + by^ azo-^bz^ at^-^bt^
D'après cette notation, on a
MMo^^ MM, "" a
^9. Théorème» Lorsque les coordonnées (Tun point mobile M, vérifient constamment une équation linéaire^ le point M est toujours situé sur un plan P donné de position.
Soit
A^ + By + fo + D^ = o ,
l'équation proposée; les coefficients A,B,C ne peuvent pas être nuls simultanément et nous supposerons A ;zf 0. Une pareille égalité est vérifiée par une infinité de valeurs des variables ; puisque après avoir donné à y et à ^ des valeurs arbitraires, on peut obtenir pour x une valeur bien déterminée.
Considérons donc trois solutions particulières
*^o>yo> -^o)*©/ »^i?2/o 2| >^i > '^tiVt^^tylt î
et soient \
Mo, Ml, M,,
les points correspondants
TROISIÈME ET QUATRIÈME LEÇONS
Par ces trois points on peut faire passer un plan P, bien déterminé, que nous ajlons considérer.
Imaginons une quatrième solution x\ y\ z\ l'\ et soit M' le point qui admet ces coordonnées; montrons que M' est situé dans le plan P.
En effet, nous avons par hypothèse
Aic' H- Bî/' -f- Cz' + D«' =: ,
Ao-o + ^Vo'V C^o 4- D^o = o,
Aa;, + By, 4- C^t -+D^ = o ^ Arr, + By\ -h C^, -^ D^. = o ;
el, par suite,
X« Vo
to
^, Vi
ti
D'ailleurs, lorsqu'un déterminant est nul, on peut trouver des nombres (a, p, y, S) qui ne sont pas tous nuls et qui vérifient les >égalités
«a/ -h PiCo -+- ïiP, +âa;, -o,
ixz' H- ?>Zo -f- Y-^i -h 5-2, zz o,
L'un, au moins, des paramètres a, P,y,S est différent de zéro ; supposons que ce soit a et remarquons que nous ne pouvons pas avoir.
ôno, Y=:o, Siro;
car, dans cette hypothèse, on aurait (xt' :z o ; ce qui est impossible, puisque t' =: i. Nous pouvons donc supposer a ;zî o, et P ;zf 0.
Cette remarque étant faite, prenons sur M'Mi un point jx (X,Y,Z,T), telqueTonait
0^' -h Y^i ' ^y' -»" Wi «2' + Y2, a^' + Y^ '
et sur Mo M, un point v (Ç, yj, Ç, v), dont les coordonnées sont calculées par les formules :
ftro -+■ 5ic, Pyo + ^Vt ~ PiJo + 5-2^2 ~ &to + S/,' Les formules (i), (2), et (3), donnent, par comparaison,
ou, puisque T i= t m: i ,
Ainsi les deux points considérés [a et v se confondent, et cette remarque prouve que M'Mj rencontre Mo M, ; en d'autres termes, les quatre points M'M©, M„M„ sont situés dans le même plan.
30. Théorème. Lorsqu'un point est mobile dans un plan fixe P, ses coordonnées vérifient constamment une certaine équation linéaire.
Prenons, dans le plan P, trois points fixes Mo, Mj, Mj et soit M' un point quelconque de ce plan. Les droites MoMj, M'M, se coupent en un point {a dont nous désignerons les coordonnées par X,Y,Z,T. Ce point [x étant situé sur la droite MoM„ nous avons
la^ + hx^ lijo -h hy^ Iz^ -h hz^ li^ + ht^ '
D'autre part, ce même point [x appartenant au segment MM', nous avons aussi
px' -}- to, ~py' + ky^ ~pz' + kz^ ~pV -f- kt^ '
Les égalités (1) et (2) donnent, par comparaison,
px' + hx^ py' -h hy, p:d -f- kz^ pt' + kt, IXo -h hx^ ~ lyo + hy^ ~ Iz^ -h hz^ ~ It^ + ht^'
Db L. Tome IlL ^
TROISIÈME ET QUATRIÈME LEÇONS
En désignant par m la valeur commune de ces rapports, nous avons donc :
px -
pz' pV
el, par conséquent.
Imx^ -f- ^x^ Imyo -\- ky, ImZo -h kz^ ■ Imto + kt^
mhx^ mhy., mhz^ mht.,
zz o
zz o
zz o
Xq
yx
ma
Ainsi, en considérant l'équation linéaire
on peut dire que les coordonnées d'un point quelconque du plan MoMjM, vérifient cette relation.
31. Ordre d'une eourbe g^auehe. Supposons qu'une courbe F, située dans Tespace, corresponde aux équations
(0 fp{^,y.2)zzo, f^(x,y,z)zzo,
la première étant du degré p, et l'autre du degré q. Si l'on
cherche Tintersection de F avec un plan quelconque P ayant pour équation
(2) ax-hby-hcz-hdzzo,
le nombre des solutions communes aux équations (1) est un nombre \x, égal ou inférieur k pq. C'est ce nombre que nous avons appelé Tordre de la courbe (§ 8).
Projetons F sur un plan Q parallèlement à une droite A ; nous obtenons une courbe y dont le degré est égal, ou inférieur, à [;..
En effet soit A' une droite prise dans le plan Q et coupant Y aux points a,, a^,... a ,. Si nous menons par ces points des
parallèles à A» nous obtenons sur F des points correspondants A,, A„ ... A , et Ton peut considérer ceux-ci comme représentant les points communs à F et à un plan mené par A', parallèlement à A. Le nombre ix' est donc, en général, égal à (i« ; dans tous les cas il ne peut pas être supérieur à [x; et, à fortiori, supérieur à pq. Comme [x est généralement égal ïpQy on voit que Tordre d'une courbe est représenté, exception faite de certains cas particuliers, par le produit des degrés des équations qui lui correspondent ; ce nombre est aussi, du moins en général, le degré de la projection de la courbe, sur un plan.
39. Équatioa du plan passant par trois points. La formule (P) que nous venons de trouver représente, d'après le raisonnement même que nous avons fait pour y arriver, réquation du plan qui passe par les trois points Mo, M,, M,.
33. Oiiférentes formes de l'équation du plan. D'après ce que nous venons de voir (§ 29), réquation la plus générale d'un plan est
(P,) \x -H By 4- C2 + D - 0.
Nous le désignerons aussi, dans la notation abrégée, par
On emploie encore, pour l'équation du plan, deux autres formes que nous allons faire connaître.
Lorsque les paramètres A, B, G, sont différents de zéro, réquation (PJ peut s'écrire
ABC
et, en posant
TROISIÈME ET QUATRIÈME LEÇONS
on a, pour réquation du plan la forme
Enfin, considérons un plan et abaissons de Torigine une perpendiculaire OP, sur ce plan. Prenons dans le plan donné un point quelconque M et construisons la ligne brisée OABM formée par les coordonnées de M.
y\ Ml y
Fig. 7.
En posant :
