Voyez : Exerc* I, de cette leçon
égala 9; mais, parmi ces paramètres, 3, seulement, sont indépendants et nous reviendrons tout à l'heure sur ce point en établissant les formules d'Euler. Les 9 paramètres en question doivent donc vérifier 6 relations ; ces relations sont précisément constituées par les formules (a) et (6), ou par les formules (a'), (6 ').
SS^. Théorème. L'ordre d'une surface U, c'est-à-dire le nombre de points qui sont communs à\] et à une droite quelconque de l'espace, est marqué par le degré m, de son éqitation.
Soit : f{x,y,z)zzo, Téqualion de U, /"désignant une forme entière et du degré m. Considérons, dans l'espace une droite quelconque A et cherchons combien U et A onl de points communs. A cet effet, changeons d'axes de coordonnées et prenons A pour nouvel axe des X. Les formules de transformation étant linéaires, la forme/", devient F(X, Y, Z); F désignant une forme entière du degré m.
Cette remarque étant faite, il y a autant de points communs à U et à A, que Téquation
a de racines. Or celte équation est du degré m, du moins en général, et quand A n'a pas, relativement à la surface, une direction singulière.
On peut aussi remarquer que Tordre d'une surface est égal à celui d'une section plane de la surface, la direction du plan sécant étant quelconque ; Tordre d'une surface et celui d'une section plane sont deux nombres égaux, en général. Nous reviendrons tout à Theure sur ce point (§ 26).
93. Formules d'Euler. Les formules d'Ëuler ont pour but d'effectuer la transformation d'un système d'axes rectangulaires à un second système également rectangulaire, sans faire usage de paramètres surabondants, comme le sont ceux que nous avons employés plus haut.
Nous allons faire usage, dans l'établissement de ces for-
mules, de la rotation des figures autour d'un axe, mais nous (levons définir d'abord le sens de cette rotation.
Imaginons un corps tournant autour de Taxe OZ ; prenons sur le corps considéré un point A et coupons la figure par un plan YOX, passant par A, perpendiculairement à OZ. Un observateur placé sur le plan YOX, les pieds en G et la tête en Z, verra tourner la semi-droite OA : tantôt de sa droite vers sa gauche, tantôt, de sa gauche vers sa droite. On dit de cette dernière rotation qu'elle est directe; l'autre rotation est inverse.
Les paramètres que nous allons introduire sont au nombre de trois ; nous les définirons d'abord.
1° Soient (O.XYZ) l'ancien système, et (O.X'Y'Z') le nouveau. Les deux plans XOY, X'OY' se coupent suivant une droite indéfinie A ; mais si nous imaginons que l'on fasse tourner OX, autour de OZ dans le sens direct, la semi-droite OX, dans ce mouvement, rencontre d'abord une moitié de A, c'est cette semi-droite que nous considérons uniquement et que nous avons représentée suivant OX,. L'angle ^y dont il a fallu faire tourner OX pour l'amener sur OX,, est un angle bien déterminé, compris entre o et tc ; c'est le premier paramètre que nous voulions définir.
Fig. 6.
20 Faisons tourner hi semi-droite OX, de 90° autour de OZ, dans le sens direct, et soit OY^ sa nouvelle position. La droite OX4 est perpendiculaire à OZ parce qu'elle est dans le plan YOX ; elle est aussi perpendiculaire à OZ' puisqu'elle
est située dans le plan Y' OX' ; enfin elle est perpendiculaire sur OY,, d'après la construction même de cette dernière droite. Cette observation étant faite, nous allons considérer le plan (0. 71 ZY,) et, dans ce plan, nous allons effectuer une rotation de la figure ZOY4, dans le sens direct autour de OX, jusqu'à ce que la semi-droite OZ vienne coïncider avec la semi-droite OZ'. Nous exécutons ainsi une rotation dont nous désignerons l'amplitude par ô ; Tangle 6 peut varier de o à 2 x. Après cette rotation OY qui était perpendiculaire sur OZ vient occuper, dans le plan ZOZ', une position OY, ; on doit remarquer que OYj, droite perpendiculaire sur OZ', est située dans le plan X' OY', et qu'elle est perpendiculaire sur OX, droite normale au plan ZOZ'.
30 Enfin, faisons tourner le système YgOX^ autour de OZ' dans le sens direct, jusqu'à ce que OX, vienne coïncider avec OX'. Les deux angles YgOX,, Y'OX', sont droites; OYj vient donc, en même temps, se placer sur OY'. Nous désignerons pour 9, l'amplitude de cette dernière rotation ; elle peut varier de à ax.
En résumé, on peut amener la superposition des deux systèmes (O.XYZ) (O.X'Y'Z') par trois rotations successives dont le sens et l'amplitude' viennent d'être définis. Dans chacune de ces transformations une des coordonnées reste fixe, et on passe de l'une à l'autre par les formules que nous avons établies dans la géométrie plane (§ 4^).
Les systèmes que nous devons considérer sont :
i*» (O.XYZ), 2« (O.X,Y,Z), 30 (O.X,Y,Z'), 4** (O.X'Y'Z');
et l'on parvient du premier au dernier,^ en passant successivement par les deux systèmes intermédiaires.
Nous allons maintenant considérer un certain point M, et nous désignerons ses coordonnées, dans ces différents systèmes, respectivement, par :
Les formules rappelées donnent :
xz:x^cos^--y^ sin^J^, Vt^yt cosB — s'sinô, a?, zix'cosç— y'sin^, y=a?,siin^-f-yiC0s4'; 2 — y, sin -j~ 2' cos 6 ; y, rrx'sinç+y'^^Sf.
On en déduit, d'abord,
yj :=: x' sîn f cos ô -f- y' (*os 9 cos — 5' sîn ;
et, finalement,
a:z:a/(cos9COStJ^--sm9sin^pcos6)--2/'(sinçcosij/-|-sin<^cos?cos6)-|-s'sin6sin<^, y-a/(sintpcos(p+sîn(pcosi^cos6)— y'(sîn?sin^— cosçcost|/cos6) — ^'sinôcos^J/, Z=a/sin9sîn6-f-y'cos©sin0-+ :î'(*osO.
Telles sont les formules d'Euler qui permettent de passer, du système rectangulaire (O.XYZ) au système rectangulaire (O.X'Y'Z'), au moyen de trois paramètres indépendants ?, 0, (]/. Nous disons que ces paramètres sont indépendants parceque Ton reconnaît facilement, par des considérations de géométrie élémentaire, qu'il faut trois conditions indépendantes pour fixer la position du trièdre (O.X'Y'Z'), relativement au trièdre (O.XYZ).
94. Section plane d une surface. La complication des formules d'Euler leur donne un intérêt plus théorique que pratique. Parmi les applications qu'elles comportent, on peut citer pourtant les recherches de l'équation de la courbe obtenue en coupant une surface par un plan.
Nous ferons d'abord remarquer tout l'intérêt qui s'attache à cette question.. Supposons que Ton veuille couper une surface donnée U par un plan P de façon à obtenir une courbe F qui remplisse certaines conditions ; supposons, par exemple, qu'on demande que F soit un cercle, ou une hyperbole équilatère, ou ime ellipse homothétique d'une ellipse donnée, etc. ; dans toutes ces questions, où la propriété imposée à la section n'est pas projective^ on a généralement besoin de
connaître l'équation de F, par rapport à deux axes pris dans le plan P.
Si, dans les formules d'Euler, nous faisons z'zzo et si nous supposons que Tun prenne pour axes de la section OX, et OYj, si, en d'autres termes, nous supposons 9 =: o, ces formules donnent
i xzzafcos^ — y'sin^ cos 6, (Ë') l y zzip'sin ij^ -h y'cos^J^cos 6, \ z zzy' sin6.
D'après cela, Péquation de la surface considérée étant
f {00, Vf z) = o>
celle de la section faite, dans cette surface, par un plan passant par Torigine des coordonnées, est
(1 ) f(x'cos ^—y' sin ^ cos 0, af sin ^ 4-2/' cos ^ cos6, y' sin 0) z:t 0.
Dans cette égalité, x',y\ désignent les coordonnées courantes d'un point de la section ; Taxe des x' est la trace du plan sécant sur le plan XOY ; les axes sont d'ailleurs rectangulaires et les paramètres ^ et 6 ont la signification que nous leur avons donnée plus haut.
ft&m Etablissement direct des formules précédentes. Les formules d'Euler étant difficiles à retenir et leur démonstration exigeant un certain effort, nous voulons montrer comment on peut trouver directement les formules (E').
Les notations du paragraphe précédent étant conservées, considérons un point M, dans le plan Y'OX', et sa projection P, sur YOX ; PQ étant perpendiculaire sur OX', la droite MQ est, elle aussi, perpendiculaire sur OX'. L'angle MQP est donc égal à 6, et nous avons
MP = MQ sin 6, on zzz y' sin 6.
Menons PR parallèlement à OY et considérons les deux contours brisés OQP, ORP, qui ont même résultante. Le théorème des projections donne
OR zz OQ cos ^-^ PQ sin ^, PR zz OQ sin ^^ -h PQ cos à, et comme
PQ = 2/' cos 0,
nous avons donc
X zn a?'cos ^ — y' sin tj; cos6, yzzod sin ^ + y' cosij^ cos 6.
Les formules (E') se trouvent ainsi établies par une méthode directe qui, en raison de sa simplicité, est celle que Ton doit suivre dans la recherche de Téqualion d'une section plane.
tf
Ordinairement, le plan sécant est donné par son équation ; les paramètres 4' et ne sont donc pas connus immédiatement, mais nous montrerons, dans la leçon suivante, comment on les détermine.
^Mk. Remarque. Parmi les applications de la* formule précédente on peut citer la suivante :
Si f{Xyy^z) est du degré m, l'équation (i) du paragraphe 24 esty en général, du degré m en x' et y' ; dans tous les cas, elle n'est pas d'un degré supérieur à m. Ainsi la section plane d*une surface d'ordre m est une courbe de l'ordre m, ou d'un degré inférieur.
Nous établirons enfin, en terminant cette leçon, une propriété de la forme quadratique S,
S s: jj* H- y* + 2* -h 2yz cos X + ^xz cos [i* -f- 2xy cos v, propriété que nous utiliserons dans la suite.
99. Théorème. Quand on passe du système Xj y y z, (X, [X, v) ; au système X, Y, Z, (X', [k, v') ; on a
Ss X' -f- Y' + Z* -j- 2YZ cos X' H- 2ZXCOS \>/ -+- 2XY cos v'
Nous pouvons supposer d'abord que les deux Bystèmes proposés ont la même origine, puisque le transport des axes, parallèlement à eux-mêmes, n'affecte pas les termes du second degré.
Soit M le point dont les coordonnées sont représentées par x,yyZ; nous avons
OM =: x" -h y' -h 2* -h nyz cosX+ ^zx cos ;jl + 2xy cos v.
Effectuons maintenant la transformation, par les formules connues, [ (T"), § 19 1 nous obtenons
Mais nous avons aussi
OM =X'+Y»-f-Z' + 2YZcosX'4-2ZXcosîx'^-2XYcosv', et, par suite,
ç(X,Y,Z) = X* + Y'-hZ'+2YZcosX'-f 2ZXcosix'-4-2XYcosv'.
Celte relation ayant lieu, quels que soient X, Y, Z, on peut y remplacer le signe :=; par le signes:, et la proposition se trouve ainsi démontrée.
EXERCICES
i . On considère le tableau suivant :
dans lequel A,B,Ç; A', B', C; A^B", C"; désignent les cosinus des angles formés par trois droites rectangulaires avec trois axes également rectangulaires.
EXERCICES
Démontrer les propriétés suivantes :
i« L<t somme des carrés des éléments d'une ligne verticale ou horizontale ext égale à Vunité.
20 Le produit des éléments de deux lignes parallèles, multiplié» deux à deux, est nul.
3° Le déterminant général est égal à ±^ ^ •
4" Le quotient de chaque élément par le mineur correspondant est égal ai i«
Dans les deux premières parties on suppose que les formules (a) et (6) sont connues, mais Ton propose de trouver, par un calcul direct, les formules (a') et {&),
Pour ]a troisième propriété, on peut appliquer la règle de la multiplication des déterminants (i4/^.,note C, § i5) au produit
et l'on a
ABC
