AB^CH BG '" GF

3° On demande si ces deux surfaces sont dififérentes.

f 8tS. Étant donnés dans un plan un parallélogramme et une droite, on demande de construire avec la règle et le compas les points où la droite serait rencontrée par une ellipse inscrite au parallélogramme et qui toucherait les quatre côtés du parallélogramme en leurs milieux.

6. Les trois arêtes d'un angle solide A, étant supposées fixes cl coupées par un plan mobile BDC, trouver l'équation de la surface courbe que décrit le centre de gravité de la pyramide comprise entre les faces de l'angle solide et le plan dont il s'agit, quand ce plan se meut de manière que le volume de la pyramide reste toujours le même.

C. Étant données une sphère et trois droites dans l'espace, mener nn plan tangent à la sphère qui fasse des angles égaux avec ces droites.

D. Un cercle étant douné dans un plan horizontal, on demande: i** De faire voir que si Ton coupe un cône droit dont le cercle soit la base, par

une suite de plans verticaux et parallèles entre eux, les sections résultantes seront des hyperboles qui auront leurs asymptotes parallèles. 2«* De trouver sur la verticale élevée par le centre du cercle, le point où il faut placer le sommet du cône pour que les hyperboles soient éqnilatères.

E. Trouver l'équation de la surface engendrée par une parabole tournant autour de son axe et déterminer la position que doit avoir cet axe pour que Tintersection de la surface par un plan quelconque, donne un cercle pour projection sur un plan donné.

F. On donne de position le rayon d'une sphère et l'on propose de démontrer qu'un plan quelconque perpendiculaire à ce rayon, coupe, suivant un cercle, tout cône qui a son sommet à Textrémilê du rayon et pour base un cercle de la sphère.

G(i). Etant donné un c5ne droit dans lequel le rayon de la base est le tiers de l'apothôme; si l'on prend sur la surface du cône un point situé à la distance a du sommet et que de ce point, comme centre, avec une ouverture de compas égale à r, on trace sur la surface du cône une courbe, laquelle pourrait être considérée comme Tintersection de cette surface avec celle de la sphère qui a son centre au point donné et dont le rayon est r. Si ensuite on développe la surface convexe du cône en une surface plane, laquelle sera un secteur circulaire, dont l'angle est |^ d'angle droit, on demande l'équation de la courbe tracée sur la surface du cône et devenue plane par le développement de cette môme surface eu un secteur plan.

L'équation de la courbe étant trouvée en général, et pour toutes les valeurs de r et de a, on fera : a = 3 r = j; et on déterminera pour ce cas particulier la figure exacte de la courbe, en la traçant dans toute son étendue.

On examinera de plus si la courbe est décrite tout entière par le compas qui tourne autour du point donné ou s'il n'y a qu'une partie de la courbe décrite par ce procédé et quelle est cette partie.

i8«4. (Y. Alg., p. 61 a.)

1887. Étant donnée une droite ÂB dont la position et la longueur sont invariables, trouver dans l'espace un point M tel que la diiférence des angles MÂB, MBA soit égale à un angle donné a.

1828. Connaissant le paramètre d'une parabole donnée dans un plan; mener par le foyer de cette courbe une droite terminée de part et d'autre par la parabole et égale à une ligue donnée. Quand la question sera résolue, déterminer la droite cherchée par une construction faite sui la figure et examiner quel est le nombre des solutions dont la question est, en général, susceptible.

1889. 10 Une surface sphérique et une surface de cylindre droit à base circulaire étant données, et se coupant suivant une courbe à double courbure, on suppose que de tous les points de cette courbe on abaisse des

1. Les questions A, B..., G ont été posées au concours général entre les années i806 et

39 i QULSTIONS D'EXAMENS

perpendiculaires sur le plan P qui passe par le centre de la sphère et Taxe du cylindre. On demande Téquation de la courbe formée par les points où le plan P est rencontré par ces perpendiculaires.

3° Connaissant le paramètre d'une parabole donnée dans un plan, mener par le foyer de cotte courbe une droite terminée de part et d'autre à la parabole et telle que le foyer partage cette droite en deux portions qui soient entre elles dans le rapport de n à Tunité.

1838. Couper un triangle par une droite de manière que les deux parties de ce triangle soient entre elles dans un rapport donné et qu'elles aient leurs centres de gravité sur une même perpendiculaire à la sécante. On résoudra le même problème : i^ Lorsque les deux côtés coupés sont égaux; a*> lorsque les trois côtés sont égaux.

1839. Étant données, dans un plan, deux paraboles égales dont les sommets se touchent et dont les axes sont tournés en sens contraires; on suppose que l'une d'elles roule sur l'autre de manière que, dans chacune des positions qu'elle vient occuper successivement, elle lu! soit toujours tangente en un point également éloigné du sommet de la parabole fixe et du sommet de la parabole mobile. Pendant ce mouvement, le sommet de cette dernière courbe décrit un lieu dont on demande Téquation.

1844. Étant donnés une ellipse et un point A sur l'ellipse, on décrit un cercle tangent à la courbe en ce point et l'on mène au cercle et à l'ellipse les deux tangentes communes, autres que celles qui toucheraient les deux courbes données au point A. On demande le lieu du point commun à ces deux tangentes quand on fait varier le rayon du. cercle (*).

1845. Étant donnés un cercle et un point situé dans son intérieur, on imagine que sur chacun des diamètres de ce cercle on décrive une ellipse qui ait ce diamètre pour grand axe et qui passe par le point donné. On demande :

lO L'équation générale de ces ellipses,

29 Le lieu géométrique de leurs foyers,

30 Le lieu des extrémités de leurs petits axes.

1846. Étant donnée une ellipse, si on lui circonscrit des rectangles tels que ABCD, on sait que tous les sommets sont situés sur un même cercle concentrique à l'ellipse. Cela étant admis, des points de contact N et Q de deux côtés opposés de chaque rectangle, on mène deux droites au point de contact M de l'un des deux autres côtés et l'on demande de prouver :

1° Que MN et MQ sont également inclinées sur le côté AB, 2° Que MN + MQ est constante,

(1] On peut généraliser cette question en supposant que les circonférdnces mobiles passent par deux points flxes A, B, de l'ellipse donnée. Cet exercice intéressant a été Tobjet de dWerses solutions.

Gcrono {nouvelles annales, t. X, p. 408). — Mister et Neuberg {M. 1863). — P. Serrct (/d., 1864). — Doucet (/d., 1873). — Macé de Lépinay [Id., 1880, p. 91). - Le P. Le Cointe (M, 18S0, p. 122).

Voyez aussi une solution de M . Breton (de Champ) dans Tlntrodoction à la Géométrie supérieure de M. Housel (p. 177).

3<^ Que ces droites MN» MQ, enveloppent une ellipse homofocale à la proposée.

1849. Un triangle PQR étant circonscrit à un cercle, on forme un second triangle dont les sommets A, B, C, sont les points milieux des côtés du premier. Des sommets de ce second triangle, on mène au cercle les tangentes Aa, B6, Ce, qui rencontrent respectivement en a, 6, c, les côtés opposés à ces sommets. On propose de démontrer que ces trois points sont en ligne droite.

On verra si le théorème a également lieu lorsque, à la place du cercle inscrit, on prend une section conique quelconque tangente aux trois côtés du triangle PQR.

1848. Soit dans le plan d'une ellipse donnée, une droite quelconque TS; par le centre C de l'ellipse, on mène le diamètre ACB conjugué à la direction de cette droite et qui va la couper au point 0. On prolonge ensuite la ligne OC d'une longueur OM, telle que OC. CM= CA*. On'suppose que la droite TS se meuve de manière à être toujours tangente aune courbe donnée et l'on demande quelle sera la courbe décrite par le point M. On indiquera la méthode à suivre et Ton en fera l'application au cas suivant.

L'ellipse a pour équation — + ^ =r i, et la droite TS reste tangente à la

courbe qui est représentée par l'équation x* = 9y.

1849. Soient, dans un plan, une ellipse et une droite située hors de celte ellipse. On prend sur la droite deux points N, N', conjugués par rapport à l'ellipse (c'est-à-dire deux points tels que la polaire de l'un passe par l'autre) ; cela posé :

1° Prouver qu'il existe dans le plan de l'ellipse deux points 0, 0', desquels on voit chaque segment NN' sous un angle droit. 2° On ^demande le lieu des points 0, 0^ quand la droite se meut parallèlement à elle-même.

1850. Étant donnés deux axes fixes ox, oy ; autour d'un point fixe P, on fait tourner un angle APB de grandeur constante et donnée (A, mar* quant le point où l'un des côtés de l'angle va couper oxy et B, le point où l'autre côté coupe l'axe oy). On demande de prouver qu'il existe sur ox un point fixe A' et sur oy un point fixe B' tels que le produit AA' X ^^' reste constant pour toutes les positions de l'angle. On examinera le cas particulier où les droites ox^ oy, coïncident.

1851. Étant donnée une droite L, on mène, de chacun de ses points M, deux droites à deux points fixes P et P\ Deux autres points fixes 0, et 0', sont les sommets de deux angles AOB, A'OB', de grandeurs données et constants, que l'on fait tourner autour de leurs sommets respectifs de manière que leurs côtés OA, Q'A', soient respectivement perpendiculaires aux deux droites MP, M'P'. On demande quelle est la courbe décrite par le point d'intersection N des deux droites OA, O'A' et la courbe qui est décrite par le point d'intersection des deux autres côtés OB, O'B', quand le point M glisse sur la droite fixe L.

18S4. Si l'on prend pour diamètre d'un cercle la portion de l'axe non transverse comprise entre le centre et la normale en un point quelconque

de la courbe, la tangente menée au cercle par ce dernier point est égal au demi-axe réel. -

Résoudre, d'après cela, la question suivante : Étant donnés les deux sommets et un troisième point quelconque de l'hyperbole, construire la normale en ce point. Indiquer les propriétés et les constructions analogues pour l'ellipse.

1857. Étant données deux coniques C et C, on mène dans la première tous les systèmes possibles de diamètre conjugués et par un point de la circonrérence de l'autre on mène des parallèles aux diamètres de chaque système. Faire voir que la droite qui joint les seconds points d'intersection de ces parallèles avec la courbe passent par un même point.

f 8S0. Par un point donné sur l'axe d'un paraboloïde de révolution on mène une sécante et par les points où cette sécante rencontre la surface, on mène des normales à la section méridienne qui la contient ; ces normales se rencontrent en un point dont on demande le lieu. On examinera si tous les points de la surface font réellement partie du lieu.

4860. On donne deux ellipsoïdes A et B. On demande le lieu des sommets des trièdres dont les faces sont tangentes à l'ellipsoïde A et parallèles à trois plans diamétraux conjugués de B.

i86f . Un ellipsoïde étant donné, trouver le lieu des centres des sections planes dont l'aire est égale à une constante donnée.

1869. Deux paraboles de même paramètre ont leurs axes à angle droit; l'une d'elles est fixe, l'autre est mobile. Une corde commune AB passe constamment par le pied D de la directrice de la parabole fixe ; on demande le lieu décrit par le sommet de la parabole mobile.

1863. Une surface du second degré de révolution pourvue d'un centre se meut de manière que dans chacune de ses positions elle rencontre suivant une circonférence de cercle, une surface du second degré fixe et donnée. On demande le lieu du centre de la surface mobile.

1864. On donne deux coniques ayant un même foyer et leurs axes proportionnels. Soient FA, FA, leurs rayons vecteurs minimums; on fait tourner ces rayons vecteurs autour de F, en conservant leur distance angulaire ; soit FC, FC, une position. En G et C'on mène les tangentes à chacune des coniques ; trouver le lieu de leur point de rencontre.

i86S. Étant données deux coniques tangentes en un point 0, on leur mène une tangente commune OR, ainsi que les tangentes communes extérieures AA', BB', qui se coupent en M. Gela posé, on propose de démontrer que:

1° La droite PP', qui joint les points P et P' diamétralement opposés au point dans les deux coniques, passe par te point M.

20 Les droites AB, A' B', qui joignent les points de contact de chaque conique avec les tangentes extérieures communes, se coupent en un point R qui est situé sur la tangente commune OR.

3° Les tangentes menées aux deux coniques par le point R touchent les courbes en des points qui sont situés sur la droite MC.

On fera voir que, généralement, le point R ne partage cette propriété

avec aucun autre poiut et oa déterminera la coudition qui doit être remplie poui qu'il existe une ligne telle que les tangentes menées par chaque point de cette ligue aux deux coniques donnent quatre points de contact en ligne droite.

1866. Démontrer que 1° les quatre points d'intersection de deux coniques quelconques inscrites dans un rectangle donné sont les sommets d'un parallélogramme dont les côtés sont parallèles à deux directions fixes.

ao Trouver le lieu des points de contact des tangentes menées d'un point du plan à toutes les coniques inscrites dans un rectangle donné ; ou bien des tangentes parallèles à une direction donnée.

3° Trouver le lieu des points de toutes ces coniques où la tangente fait un angle donné avec le diamètre qui aboutit au point de contact.

1869 . Un ellipsoïde étant donné, on propose de trouver une droite L dans l'espace, et un point P sur l'ellipsoïde, de façon que les cônes qui ont pour sommet commun le point P, et pour bases les sections faites dans l'ellipsoïde par des plans contenant L, soient de révolution. On cherchera en outre, quel est le lieu des positions occupées par la droite L, lorsque le plus grand et le plus petit axe de l'ellipsoïde restant invariables, on fait varier la longueur de l'axe moyen.

1868. On propose :

i» De trouver le lieu géométrique des points divisant dans un rapport donné les portions des tangentes à une conique fixe qui sont comprises entre deux droites fixes.

29 De classer méthodiquement, en s'attachant surtout aux cas généraux, les diverses formes que ce lieu géométrique peut affecter.

30 De trouver les conditions que doivent remplir la conique et les deux droites fixes pour que le lieu géométrique demandé se décompose en lignes droites ou en lignes du second ordre.

1869. On donne un cercle dont le centre est en 0, et un point P dans le plan de ce cercle, en dehors de la circonférence; trouver le lieu décrit par les foyers d'une hyperbole équilatère, doublement tangente au cercle et passant par le point P.

On construira le lieu en supposant la distance PO égale au triple du rayon du cercle.

1890. Deux ellipses ont leur centre en un même point et leurs axes dirigés suivant les mêmes droites. Déterminer le lieu d'un point tel que les cônes ayant ce point pour sommet commun, et les deux ellipses pour directrices, soieut égaux.

1878 (*). Étant donné un prisme triangulaire droit on le coupe par des plans rencontrant les trois arêtes, de telle manière que les volumes des troncs de prisme obtenus soient dans un rapport donné :

1° Trouver la surface engendrée par le centre de gravité de Tun des troncs de prisme, quand le plan sécant se déplace sans cesser de rencontrer les trois arêtes,

(I) Il n'y a pas eu de concours général en 1871,

•2^ Trouver les eourbcô qui forment les contours de ces surfaces.

On examinera, en particulier, le cas où le prisme donné a pour bases des triangles équilatéraux.

i893. Une surface du second degré étant donnée, ainsi que deux points A, B, sur cette surface ; il existe une infinité de surfaces du second degré ^ qui sont tangentes eu A et B, à S. On propose de trouver :

10 Le lieu géométrique des centres des surfaces S.

30 Le lieu géométrique des points de contact de ces surfaces avec les plans tangents qu'on peut leur mener parallèlement à un plan donné.

30 Le lieu géométrique des points de contact de ces surfaces avec les plans tangents qu'on peut leur mener par une droite donnée.

1894 (Paris), Démontrer que la forme la plus générale d'un polynôme entier F (x) satisfaisant aux relations :

est :

+\,{x'—x+ ip''--\x'-xy-{- . . . -^\„{acr-xf \

Py q, n désignant des nombres entiers, et Ao, Ai, A2,..' A des constantes quelconques.

1894 {Départements). Si l'on considère la fonction e^^ de la variable x et que Ton en prenne les dérivées successives, on reconnaît que la dérivée

de Tordre n est égale au produit de la fonction e^^'par un polynôme entier en x que l'on représentera par ç„ {x). ^

10 Démontrer que les polynômes ç (x) satisfont aux relations suivantes :

2o Calculer les coefticients du polynôme 9,, (x) ordonné suivant les puissances de X,

18*95. Étant donnés un ellipsoïde, un plan P, et un point A dans ce plan ; trouver le lieu des sommets des cônes circonscrits à l'ellipsoïde et tels que la section de chacun de ces cônes, par le plan P, admette pour foyer le point A.

1896. Étant donné un parallélipipède on considère trois arêtes, qui n'ont pas d'extrémités communes et les deux sommets non situés sur ces trois arêtes:

1» Trouver l'équation du lieu d'une courbe plane du second degré, passant par ces deux points et s'appuyant sur les trois arêtes.

2^ Chercher les droites réelles situées sur la surface.

30 Etudier la forme des sections faites dans la surface par des plans parallèles à l'une des faces du parallélipipède.

487*7. Rechercher les surfaces S du second degré sur lesquelles existe une droite D telle que l'hyperboloïde de révolution H qui a pour axe une génératrice quelconque G, de la surface S, et du même système que D, et qui passe par la droite D, coupe orthogonalement la surface S en tous les points de cette droite.

Si l'on considère tous les hyperboloïdes H qui se rapportent à une même surface S, jouissant de la propriété énoncée :

i» Trouver le lieu des sommets A et celui des foyers F des hyperboloïdes H' conjugués des hyperboloïdes H;

20 Par l'un des foyers F de l'hyperboloïde H', on mène un plan P parallèle à la perpendiculaire commune aux deux droites G et D, et faisant, avec cette dernière, un angle supplémentaire de celui que fait, avec cette même droite, l'axe G de l'hyperboloïde H ; trouver le lieu de la droite qui joint le point où le plan P coupe la droite D à Tun des points où ce plan coupe la courbe d'intersection de la surface S et de l'hyperboloïde H.

1878. Les droites A'OA, fi'OB, C'OC sont trois axes de coordonnées rectangulaires ; on suppose OA' = OA = a, OB' = OB = 6, OC = OC = c. Déterminer :

10 Le lieu des axes de révolution des surfaces de révolution du second degré qui passent par les six points A, A', B, B', C, C.

20 Le lieu des extrémités D de ces axes.

On construira la projection du lieu des points D sur le plan AOB, en supposant a> c> à et l'on partagera la courbe eu arcs tels que chacun d'eux corresponde à des surfaces de même espèce.

i879. Ou donne une hyperboloïde à une nappe et un point dans le plan du cercle de gorge. Par ce point on mène une droite parallèle à une génératrice de la surface. Cette droite est l'axe d'un cylindre de révolution qui passe par la génératrice de l'hyperboloïde. Trouver l'équation de la projection sur le plan des xy do l'intersection des deux surfaces. La projection a un point double dont on demande le lieu lorsque la droite varie.

t880. Sur une courbe donnée du troisième degré, ayant un point de rebroussement 0, on considère une suite de points

„ > ^^^n—i)^ • ' • • y "^—i» — i' ^oi A.I y A,2y . . . . , A^^j , A^^

tels que la tangente en chacun de ces points rencontre la courbe au point suivant :

10 Étant données les coordonnées du point Ao, on propose de trouver les coordonnées des points A „ A^, , et de déterminer les limites vers lesquelles tendent ces points quand l'indice n augmente indéfiniment.

a'* On demande le lieu décrit par le p>*emier point limite, lorsque la

courbe du troisième degré se déforuie en couservaut le même point de rebroussement 0, la même taugeate eu ce poiat, et en passant constamment par trois points fixes P, Q, R.

30 On étudiera comment varient les points d'intersection de ce lieu et les côtés du triangle PQR^ quand les sommets de ce triangle se déplacent sur des droites passant par 0.

1881. Trouver le lieu des points tels que les pieds des six normales qu'on peut mener de l'un quelconque d'entre eux à un ellipsoïde donné, à trois axes inégaux, se séparent en deux groupes de trois points dont les plans respectifs soient parallèles entre eux.

Montrer que, si l'on se donne un point P du lieu, la solution de ce problème « mener du point P les normales à lellipsoïde » dépend de la résolution de deux équations du troisième degré.

Discuter ces équations.

188!2. Par un point quelconque P pris dans le plan d'une parabole donnée, dont le sommet est en 0, on mène à cette courbe trois normales qui la rencontrent aux points A, B, C. Les longueurs PA, PB, PC, PO étant représentées respectivement para, 6, c, /; on demande de former l'équation du troisième degré dont les racines sont U — a*, /• -— 6*, l* — c*, et d'indiquer les signes des racines d'après la portion du point P dans les diverses régions du plan.

1883. D'un point P pris sur une normale en unpoint Ad'unparaboloïde elliptique, on peut mènera la surface quatre autres normales ayant pour pieds B, C, D, et E; i» on demande de trouver l'équation de la spbère S passant par les quatre points B, C, D, et E ; 29 de trouver le lieu des centres 1 de la sphère S quand le point P se déplace sur la normale au point A, ainsi que la surface engendrée par la droite PI.

1884. Par le centre d'une ellipsoïde donné, on mène trois diamètres conjugués quelconques ; et, par les points où ces droites rencontrent la sphère circonscrite au parallélipipcde formé par les plans tangents au sommet de l'ellipsoïde, on fait passer des plans ; 1° trouver le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point donné P sur ces plans variables ; 2° ce lieu est une surface du quatrième ordre dont l'équation peut être ramenée à la forme suivante :

{a* -h j/' + 2')* + ^kx' + 4 Ay + 4A V + 8Ca; 4- HC'y + SC

trouver toutes les sphères telles que chacune d'elles coupe la surface suivant deux cercles ; 3° ces sphères forment cinq séries parmi lesquelles deux ne sont pas distinctes. Démontrer que les sphères de la série double passent toutes par un môme point, et trouver le lieu de leurs centres. Démontrer que les sphères de chacune des trois autres séries coupent respectivement à angle droit des sphères fixes Sj, S2, S3. Trouver le lieu des centres des sphères de ces trois séries.

QUESTIONS D'jîXAMENS 401