ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

COMPOSITION DE MATHËMATJQUES

1870. Par Taxe transverse d'une hyperbole donnée, on mène un plan P faisant un angle a avec le plan de la co irbe, puis dans le plan P, une droite OZ, perpendiculaire à cet axe transverse.

Trouver Téquation de la surface de révolution décrite par la rotation de rhyperbcle autour de OZ.

Ck)nstruire la section méridienne de la surface, en supposant i<> l'hyperbole équilatcre ; 30 la droite OZ menée parTun des sommets delà courbe; 3o laogle a égal à fp degrés.

1879 (i ). Par un point fixe A, pris sur une surface du second degré donnée, on mène tous les plans qui coupent la surface suivant des courbes dont Fun des sommets est en A:

1° Trouver le lien de celui des axes de la section qui passe par le point A ;

3° Trouver le lieu du point où le diamètre conjugué du plan sécant, relativement a la surface donnée, rencontre le plan tangent à. cette surface au point A ;

S*" Construire ce dernier lieu dans le cas où le plan tangent en A coupe la surface donnée suivant deux droites rectangulaires.

i873. Étant donnés une ellipse A et un point P dans son pian, de co point P on mène des normales à Fellipse A et Ton considère la conique B qui passe par le point P et les pieds des quatre normales :

lO Trouver les coordonnées du centre de cette conique B et celles de ses foyers.

30 Trouver le lieu G du centre et le lieu D des foyers de la conique B, lorsque Tcllipse A varie de manière que ses foyers restent fixes.

30 Trouver le lieu des points d'intersection du lieu D et de la droite OP lorsque le point P décrit un cercle de rayon donné et ayant pour centre le centre de l'ellipse A.

- 18*74. 1° Par les trois sommets d'un triangle rectangle on fait passer «l^'s paraboles. On mène à ces paraboles des tangentes parallèles à l'hypoténuse du triangle donné. On demande le lieu des points de contact.

3° Le lieu cherché est une conique qui coupe chacune des paraboles en quatre points. On demande le lieu décrit par le centre de gravité du triangle formé par les sécantes communes^qui ne passent pas par l'origluc.