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De L. Tomk III. 26

1875. On considère une infinité d'ellipses semblables entre elles ayant un sommet fixe et la même tangente en ce point ; on demande le lieu des pieds des normales menées, d'an point fixe P, à ces ellipses.

On construira le lieu, dans le cas particulier où OP est incliné de ^b degrés sur la tangente fixe donnée et en supposant, successivement^ que

le rapport des axes des ellipses considérées est égal à \/3 ou égal à a.

1876. On considère toutes les paraboles tangentes à deux droites rectangulaires ox, oy^ et telles que la droite PQ, qui joint leurs points de contact P et Q avec les deux droites, passe par un point fixe donné.

1^ On demande le lieu du point d'intersection de la normale en P à l'une de ces paraboles avec le diamètre de la même courbe passant en Q.

2<> On demande de déterminer le nombre des paraboles réelles qui passent par un. point quelconque du plan.

3° On demande l'équation du lieu des points de rencontre de deux paraboles satisfaisant aux conditions proposées et dont les axes font un angle donné.

On construira ce lieu dans le cas où l'angle donné est un angle de 45 degrés et où le point À est sur la droite ox,

1877. On considère toutes les coniques circonscrites à un triangle ABC rectangle en A, et telles que les tangentes en B et C à ces coniques aillent se couper sur la hauteur du triangle. On demande :

1^ Le lieu du point de concours des normales en B et]C à ces coniques ;

1'^ Le lieu du centre de ces coniques : on distinguera les points du lieu qui sont centres des ellipses, de ceux qui sont centres des hyperboles ;

30 Le lieu des pôles d'une droite quelconque D. Ce lieu est une conique. On considère toutes les droites D pour lesquelles cette coniqne est une parabole et l'on demande le lieu des projections du point A sur ces droites.

1878. On donne une conique et deux points fixes A et B sur cette courbe. Une circonféreni'.e quelconque passant par les deux points A et B rencontre la conique en deux autres points variables G et D ; on mène les droites AC, BD qui se coupenten M, lesdroites AD, BC qui se coupent en N.

Déterminer:

1° Le lieu des points M et N ;

2° Le lieu des points de rencontre de ia droite MN avec la circonférence à laquelle elle correspond* On construira les deux lieux.

1879. Étant donné un tétraèdre OABC défini par l'angle trièdre et les longueurs 4^, 4^» 4<^ ^^^ tï'ois arêtes OA, OB, OC.

v° Démontrer que l'ellipsoïde qui admet pour diamètres conjugués les trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées deux à deux, est tangent aux six arêtes du tétraèdre.

20 Trouver l'intersection de cet ellipsoïde et de l'hyperboloïde engendré par une droite mobile qui s'appuie sur les trois droites :

La première tnenée par le milieu de OA parallèlement à OB^ La' deuxième » » OB » OC,

La troisième i> ^ OC »> OA.

Par chacun des points où la droite mobile rencontre la surface, on mène un plan parallèle au plan tangent à Tellipsoïde à l'autre point.

Démontrer que ces .plans passent par le centre to et trouver le lieu décrit par l'intersection de ces deux plans. •

1880. Étant donné un paraboloïde hyperbolique, on considère une génératrice rectiligne A de cette surface et la génératrice B du même système qui est perpendiculaire à la première ; par les points a et 6 où ces droites sont rencontrées par leur perpendiculaire commune passent deux génératrices rectilignes A' et B' do l'autre système; soient a' et b' les points où les deux droites A' etB' sont rencontrées par leur perpendiculaire commune.

1° Trouver le lieu des points a et 6, et celui des points a' et 6', quand la droite A décrit le paraboloïde.

a° Trouver le lieu du point de rencontre des droites A et B', ou A' et B.

3o Calculer le rapport des longueurs a' 6' et a b des perpendiculaires communes, et étudier la variation de ces longueurs.

1881. On considère la courbe

272/* = ix\

ï^ On demande la condition à laquelle doivent satisfaire les paramètres m et n pour que la droite y = mx'\* n soit tangente à cette courbe.

a® On demande le lieu des points d'où Ton peut mener à la courbe proposée deux tangentes parallèles à deux diamètres conjugués de la conique représentée par l'équation

X* -}-y* -h ^axy — B .

3° Par un point A pris sur la courbe on mène des sécantes coupant cette courbe en deux points variables M et M'. On demande le lieu du milieu du segment M M'. Discuter la forme de ce lieu et indiquer les arcs qui répondent à des sécantes pour lesquelles les points MM' sont réels.

18812. Soit un point fixe donné P ayant pour coordonnées a et 6 par rapport à deux angles rectangulaires 0.?;, 0?/, et noient A et B les pieds des perpendiculaires abaissées du point P sur ces deux axes. On considère les courbes du second ordre tangentes aux deux axes en ces points A et B; du point P on mène à chacune de ces courbes deux normales variables PM, PM'.

1° Déterminer l'équation de la droite MM' qui joint les pieds des uormaies variables, et démontrer que cette droite passe par un point fixe.

2° Déterminer l'équation de la courbe C lieu des points M et M'. Construire la courbe C, dans l'hypothèse a -: a 6, au moyen de coordonnées polaires ayant le point pour pôle.

1883. (V. Géom. plane; p. 635.)

1884. a et 6 désignant les coordonnées rectilignes rectangulaires d'au point M, quelle est pour chaque position de ce point la nature des racines de Téquation

3/* 4- Bat' — 126^' -f 46 =- o ?

On construira, en particulier, le lieu des positions du point M pour lesquelles l'équation admet une racine double, en calculant les coordonnées d'un point du lieu en fonction de cette racine.