ÉCOLE CENTRALE
f880. {Première session.) Soient ox, oy, deux axes rectangulaires et sur oo; un point A, sur oy un point B. On mène par le point A une droite quelconque AR, de coefficient angulaire m.
1° Former l'équation de l'hyperbole H qui est taugente à l'axe ox au point 0, qui passe par le point B, et pour laquelle AR est une asymptote.
2» On fait varier m et on demande le lieu décrit par le point de rencontre de la tangente en B à l'hyperbole H et de l'asymptote AR.
3° On considère le cercle circonscrit au triangle AOB ; ce cercle coupe l'hyperbole H aux points et B, et en deux autres points P et Q. Former l'équation de cette droite PQ ; puis, faisant varier m^ trouver successivement les lieux des points de rencontre de cette droite PQ avec les parallèles menées par le point o, soit à l'asymptote AR, soit à la seconde asymptote de l'hyperbole H.
1880. (Deuxième session.) 1° Écrire l'équation générale des paraboles passant par deux points donnés A et B et dont les diamètres ont une direction donnée.
2^ Donner l'expression des cordonnées du sommet et du foyer de ces paraboles.
3° On mène à chaque parabole une tangente perpendiculaire à la droite AB, trouver le lieu des points.de contact et construire ce lieu.
fl88â. {Première session,) Soit a*y* -|- b*x* = a*b* l'équation d'une ellipse rapportée à son centre et à ses axes ; soient a, et ^, les coordonnées d'un point P situé dans le plan de cette ellipse.
lo Démontrer que les pieds des normales menées à cette ellipse par le point P sont situés sur l'hyperbole représentée par l'équation
c*xy -h b^?iX — a*OLy jz o ,
dans laquelle c* = ar^b*»
2° On considère toutes les coniques qui passent par les points A, B, G, D, communs à l'ellipse proposée et à cette hyperbole ; dans chacune d'elles ou mène le diamètre conjugué à la direction OP et on projette le point sur ce diamètre : trouver le lieu de cette projection.
3° Par les points A, B, G, D, on peut faire passer deux paraboles: trouver le lieu du sommet de chacune d'elles quand le point P se meut sur une droite de coefficient angulaire donné m, menée parle point 0.
On examinera le cas particulier où w =r — et celui où m = — — .
. {Seconde session.) On donne, une parabole {y*= 2 px) rapportée à son axe et à son sommet et un point P (a, 6} dans le plan de la courbe.
lo Démontrer que, du point P, on peut en général mener trois normales à la parabole : former l'équation du troisième degré qui donne les ordonnées des pieds A, B, G de ces normales.
20 Démontrer que chacune des deux courbes
xy+ip — oc) y — joP =: o , y* -h 23?* — Py — 20iX -=■ o
passe par les quatre points A, B, G, P, et trouver l'équation générale de toutes les coniques passant par ces quatre points.
3° Ghacune de ces coniques coupe la parabole donnée aux trois points fixes A, B, G, et un quatrième point D, trouver les coordonnées du point D.
4° Par le sommet de la parabole donnée, on imagine deux droites parallèles aux asymptotes de l'une quelconque des coniques précédentes ; on mène la droite joignant les points d'intersection de ces deux droites avec la conique, et on la prolonge jusqu'à sa rencontre avec la parallèle DD' menée à Taxe de la parabole par le point D.
Former et discuter l'équation du lieu de ce point de rencontre.
1888. (Première session.) So\i-^ -j-^g = 1, l'équation d'une ellipse rapportée à son centre et à ses axes, et soient a et ^ les coordonnées d'un p< int P situé dans le plan de Tellipse.
Former l'équation générale des coniques qui passent par les points de
contact M et M' des tangentes menées du point P à l'ellipse et par les
points Q et Q' où cette ellipse est rencontrée par la droite qui correspond à
ax Sw
l'équation -r — rr + 1^ = 0.
Disposer du paramètre (i et de l'autre paramètre variable qae contient l'équation générale, de manière qu'elle représente une hyperbole équilatère passant par le point P.
On fait mouvoir le point P sur la droite représentée par l'équation a? + y = /, et l'on demande :
1° Le lieu décrit par la projection du centre de l'ellipse sur QQ' ;
20 Le lieu décrit par le point de concours des cordes MM' et QQ'.
Démontrer que ce dernier lieu passe par deux points fixes, quel que soit /, et déterminer ces points.
Ghercher pour quelles valeurs de / ce lieu se réduit à deux droites, et déterminer ces droites.
1888. — Seconde session. On donne dans un plan deux axes de coordonnées rectangulaires, Oa;, Oy, et deux points H et H', le premier défini par ses coordonnées a et 6, et le second symétrique du premier par rapport au point 0. Par ce dernier point on mène une droite indéfinie DOE, formant avec Taxe Ox un angle DOa; = 0, on projette les points H et H' sur cette droite en A, h\ On projette le point h en u sur l'axe Oa;, et le point M en Mj sur la droite DOE; on projette le point h en v sur Taxe Oy,
et le point v en Vi sur la droite DOE; toutes ces projections sont orthogonales. Enfin, sur la longueur Ui Vi comme hypothénuse, on construit un triangle lectangle Ui vt S, en menant U|S parallèle k Ox^ et t'iS parallèle à Oy. Gela posé, on demande :
1° De trouver les coordonnées du point S, en fonction des trois constantes a, bf 6 ;
2° D'écrire l'équation d'une parabole ayant le point S pour sommet et la droite DOE pour directrice ;
30 De démontrer que le lieu des foyers de toutes les paraboles, en faisant varier l'angle 6, se compose d'un système de deux circonférences de cercle :
4<> De démontrer que toutes ces paraboles sont tangentes aux axes de coordonnées ;
50 De démontrer que les cordes de leurs contacts avec ces axes se croisent en un même point.
18S8. (V. Géom. plane, p. 634).
1884. {Pfwiière session.) On donne l'équalion aV — 6*jî* + a*6* = o d'une hyperbole rapportée à son centre et à son axe, et l'équation y —Kx = o d'une droite menée par le centre de cette hyperbole.
I. P'ormer l'équation générale des coniques qui passent par les points réels ou imaginaires communs à l'hyperbole et à la droite donnés, et qui de plus sont tangentes à l'hyperbole en celui des deux sommets de cette hyperbole qui est situé sur la partie positive de l'axe des x. Discuter cette équation générale et reconnaître la nalure des coniques qu'elle peut représenter.
II. Trouver le lieu des centres des coniques représentés par Téquation générale précédente. Ce lieu est une conique A, chercher un nombre de points et de tangentes suffisant pour déterminer géométriquement cette conique A.
ni. Trouver le lieu des points de contact des tangentes menées à la
conique A, parallèlement à la droite de coefficient angulaire - , quand
ce
on fait varier K. — On vérifiera que l'équation de ce dernier lieu, qui est du troisième degré, représente trois droites.
