An^le d*ane droite A, et d'an plan P. On sait que
cet angle V est Tangle aigu complémentaire de celui qui est formé par A et par Taxe de P.
Les équations données étant
^ — Xn y ""■ y© ^ 5 — -^o
An? -f- By + Cs -h I) = o,
la normale au plan P, menée par Torigine, a pour équations
La formule (J) du paragraphe précédent donne
Aa 4- B6 4- Cy
(K) sinV'zz
Dans cette égalité on prendra le signe -j-, ou le signe — , suivant celui de l'expression Aa^-Bg-f-CY. • 04U An^le de deux plans. Soient '
Arr -+- By H- C2 -h D = o, (C> o) ax -\- by + cz -j- d z=z o, (r > o)
les équations des deux plans donnés.
Les axes de ces plans correspondent aux équations
ABC a b
et Tangle V formé par les semi-normales positives a un cosi nus donné par l'égalité
Aa -f- B6 -f- Ce (L) CosV =
cet angle V est celui qui est formé par les semi-plans positifs.
B&. Distance d'an point à an plan. Nous chercherons d'abord à déterminer la distance de Torigine au plan qui a pour équation
Abaissons de l'origine une perpendiculaire OL sur le plan proposé ABC. En conservant les notations adoptées plus haut, réquation de ABC est
(a) a; cos a 4- y cos 6 -H 2: cos y =z A
En identifiant les équations (1) et (2), nous avons
cos a cos 6 cos y — h
"X"" "b" """T" "~ir*
De ces égalités, et de la relation
• cos* 2 -f- COS* 6 H- cos* Y = o,
Fig. 10.
nous déduisons,
hz=
Dans celte formule on prend le signe -h, ou le -signe —, suivant que Torigine est placée dans la région positive, ou dans la région négative, par rapport au plan ABC.
Prénom maintenant un point Mo (a?o,yo,2o), et, de ce point abaissons sur ABC la perpendiculaire Mo H. Si nous menons par Ho un plan A'B'C parallèle à ABC et si nous prolongeons OL jusqu'à sa rencontre en L' avec A' B' C, nous pouvons écrire
Mo il = OL' — OL.
L'équation de A'B'C est
Ax-hBy-^Cz — AoTo — Bt/o — C>So = ".
Supposons que l'origine soit placée dans la partie positive du plan ABC; alors, dans la disposition de la figure, est aussi situé dans la région positive de A'B'C et nous avons, en valeur absolue
— {AXo + B^o -f- C^o) D
OL' =:-== " — y etOL=:~= ^ ;
par suite
\Xo 4- B^o + Czo-^D OV — OL r= — , ,
ou,
Le point Mo est silué dans la région négative de ABC et nous avons, par conséquent, P„<o; si nous supposions Po>o, la formule précédente donnerait encore la distance cherchée, mais le second membre devrait être affecté du signe +.
66. Distance d*un point à une droite. Il est naturel de rattiicher ce problème au précédent en observant que la distance 8, d'un point Mo {Xf,yy'»,Zo) à une droite A est égale
à la longueur de la perpendiculaire Mo H abaissée de Mo sur le plan S qui passe par A et qui est perpendiculaire au plan R déterminé par A et par M».
Soient
les équations de A. Le plan R a pour équation
(R) PQu-QP„=o, et le plan S peut être représenté par l'égalité
(S) Pa — Q6 = o.
On a donc
en posant
Fig. 11.
(2) wzz:A'a-A"6, uzziB'a — B'^6, wzziGx^G't,
• Les équations (R) et (S) représentent, par hypothèse, des plans perpendiculaires ; en rendant explicites les formes qui
entrent dans le premier membre et en appliquant la condition connue (§ 60), on a
(3) liu' -h vv' -h IV w =: o, après avoir posé
(4) h'=AU-A'T„, y'^B'Qo-BTo, o)' = C'Qo - GTc.
D'ailleurs, Tidentité de Lagrange donne
-+ (vw' — wv'y -f- {wu' — uw'y.
Les égalités (2) et (4) prouvent que Ton a
uv' — vw' = (.VB " - B'A") (Qo5 -Poa), vw' — wv'= (B'C' — C'B'O (Q06 — Poa), WW — uw'=l{C A"— A'C'YiQo^ -Poa).
En tenant compte de la relation (3), l'identité (5) donne l'égalité suivante :
(m* + v' + w'] (u'* + v" + w") = (Poa - Qo6)' { (A'B' — B'A")' + (B'C" — C'B")' + (C'A" — A'C')' |
D'après cela, la formule (i) devient
(A'B" — B'\y -h Cb'G" — CBy -t- (C'A" — A'C)* Si Ton observe que les équations
AQ-A'P-o, BQ-BT = o, CQ-C'P = o,
représentent les projections de la droite donnée sur les trois plans de coordonnées, la formule précédente, malgré sa complication apparente, s'impose facilement à la mémoire.
67. Remarque. Lorsque les équations de la droite A ont été mises sous la forme
6i4 CINQUIÈME LEÇON
la distance 8 d'un point Mo {x,,yy^,z^) à celle droite s'obtient facilement par les considérations suivantes.
Menons par Mo un plan P perpendiculaire à A, ce plan coupe A au point H et Ton a
S*::rMoll =MoM, — M.U .
L*équation de P est
(P) a (ic— a'o)+6 (y — y^) 4- y i^— ^o) n o, et la distance M, H est donnée par la formule
\:l{x, — iro^-f-6(y, — yo) + y(^, — 2:0) j
M, Il -
Ainsi,
ou, en appliquant Fidenlilé de Lagrange,
08. Projection d'un point sur une droite. Pour déterminer le pied H de la perpendiculaire abaissée de Mo sur A, on peut observer que ce point est l'intersection de A avec le plan P.
Les équations (A) écrites sous la forme.
donnent, par combinaison avec (P)
X'—x, y - y. z — z, jx{x,—x,)-^i{yo—y,)-^^r{z^ — z,) a ~ 6 — Y "" 5c*-l-6*-hY*
Dans ces formules, a:, y, >s; désignent les coordonnées du point H, projection de Mo sur A.
69. Plans bissecteurs. Les deux plans qui ont, respectivement, pour équation
P = Aa: + By4 Cz + Dzz:o, p znax -hày -h-cz -{- d^no,
forment un dièdre auquel correspondent deux plans bi.ssecleurs. On sait que tout point pris sur l'un de ces plans esta égale distance des faces du dièdre. L'un de ces plans a pour équation
P jp
l'autre, correspond à la même équation, en affectant du signe —, l'un des radicaux.
Les deux plans proposés séparent Tespace en quatre régions; le raisonnement que nous avons fait en géométrie plane (§ 76), peut se reproduire ici et Ton voit, dans tous les cas, quelle est celle des deux équations qu'il faut choisir pour représenter le plan bissecteur qui est situé dans une région déterminée; par exemple, dans celle qui renferme l'origine.
90. Plus courte distance de deux droites. (Longueur) Imaginons deux droites A, A', non situées dans le même plan, et correspondant respectivement aux équations
Menons par A un plan P parallèle à A' ; l'équation de ce plan est de la forme
(1) A{X'-Xo)'^B{y—yo) + C{z--Zo)~o,'
et si nous écrivons qu'il est parallèle aux droites A et A', nous avons
(2) Aa -4-B6 -|-Cy=o,
(3) Aa' + B6'+CY'=:o.
De L. Tome Ul. ^
Les relations (i), (2), et (3), donnent, pour l'équation de P,
x—Xo y — yo z — Zo
On sait que la longueur d de la plus courte distance est égale à celle de la perpendiculaire abaissée, sur le plan P, d'un point quelconque de A'. En posant, pour abréger l'écriture,
nous avons donc.
dzz
yx- yo
sJK+K+^\
91. Plus courte distance de deax droites. {Equations.) La situation de la plus courte distance se détermine en prenant l'intersection de deux plans U, V, perpendiculaires au plan P que nous venons de considérer, et passant : l'un par A, l'autre par A'.
Cherchons, d'abord, l'équation de V.
Cette équation est de la forme :
(1) a(x-^x,)-hb{y-'y,)+c{Z'-z,)-o,
et nous avons
(2) m' + b6' i-xY'-^o;
égalité qui est vérifiée puisque V passe par A'
Maintenant, si nous tenons compte de ce fait que V et P sont deux plans perpendiculaires, nous obtenons la relation
(3) aS^-^68g + c8 -0.
Les équations (i), (2) et (3), donnent, finalement,
On trouve de même l'équation de U,
X — ar» y — y»
2 Zq
99. Aire d'oa triang^le (M, M. M3). Nous supposons que trois points soient donnés par leurs coordonnées et nous proposons de déterminer l'aire du triangle correspondant, en fonction de ces coordonnées.
Le triangle M, M, M3 se projette sur le plan XOY suivant un triangle dont, d'après une formule connue, Taire est égale à
En appliquant cette remarque aux trois projections de M^ M, M3 sur les plans de coordonnées et en observant que le carré de Taire S, du triangle M^ M, M3, est égale à la somme des carrés de ses projections sur trois plans rectangulaires, nous avons
98. Tolume du tétraèdre (Mo Mj M, M3). L'équation du plan M» M, M3 est
2j Xi 1
Zx
hi
iz o.
et ]a distance A, de M», à ce plan, se calcule par la formule
hziz
«Po
Vt
En tenant compte de la formule établie du paragraphe précédent, cette relation devient
Xo y.
