Démontrer que si ton considère les équations
et les droites qui leur correspondent: les équations de la normale à ces deux droites sont :
S. On considère les droites A, A', qui ont pour équations :
démontrer que les équations des bissectrices sont
et
r-HY
a — a' 6 — il y — ï
a, 6, y; a', 6', y' désignant les cosinus directeurs.
On prend sur A et A' les points directeurs P et P'et Ton remarque que Tune des bissectrices est la droite qui joint l'origine au milieu de^P^. En considérant le point P'^ symétrique de P par rapport à l'origine 0, on a la seconde bissectrice en joignant le point au milieu de PP''.
6. Par deux droites A, A', non situées dans le même plan ^ on fait passer deux plans rectangulaires ; trouver le lieu décrit par la droite d'intersection.
On prend pour axe des z la perpendiculaire commune, pour origine le milieu de cette droite et pour axe des x et des y les bissectrices des parallèles menées à A et à A', par le point 0.
En désignant la plus courte distance par 2h on trouvera, pour l'équation du lieu cherché,
y- — m*x* -4- (i — m*)z* zz h*{i — m*).
Dans cette équation on suppose m=:tga, aa étant l'angle des deux droites données.
H . Démontrer que la distance 5 du point Mo {Xq , y© » «o) ûm pl^n qui correspond à l'équation
est
VzzAx-hBy-hCz-hD^o.
Pc A
v/A*sin*XH- B*sinV -f- G" sinN -{- 2BG (ces jji cosv — cos X) -+- 2CA (cosvcosX— cos|ii.)-f-2AB(cosXcos|Ji— cosv)
X, tJi, V désignant les angles des axes.
LA SPHÈRE (Axes obliqua)
9&. É^aation g^énéralede la sphère* Désignons par R le rayon de la sphère, et par a?o,yo, Zo, les coordonnées de son centre; nous avons (§ lo),
S —(a? — Xof-^ {y — t/oT -hiZ" ZoY + 2(â? — Xo) {y — yo)cosv
C'est réqnalîon cherchée; elle est du second degré par * rapport aux coordonnées courantes x,yyZ.
Nous conserverons les notations que nous avons employées dans la géométrie plane ; nous désignerons encore par S le discriminant de la forme binaire
Aa;*-f-Ay-h2B"a;y, et par A celui de la forme ternaire
Ax* -h A.'y* -h A V H- 2Byz -h ^B'zx -h 2B"xy,
Nous aurons aussi à considérer, dans la suite, la forme quadratique Q, à quatre variables,
Qs Aa^4-Ay + A V 4- 2By:2r4- 2B'2a?4-2B''a:y -^-2Ca;/ -^ aCy -f-aC'^^^ +-D/' ;
nous représenterons par H son discriminant.
Ainsi, nous poserons :
Dans le cas particulier où la forme quadratique consîdérée est
nous désignerons son Hessien par Ho et nous représenterons par Ao) comme nous l'avons déjà fait, le discriminant de la forme quadratique qui est constituée par l'ensemble des termes du second degré en x,y et z.
90. Théorème. Pour que l'équation Q — o représente une sphère i il est nécessaire et suffisant que l'on ait
(i) AizA'zrA''- r-==:
