COS [X
cosX
OU
\J\Xy
Acosv
cosix
A*AoR'-,-
Acosv A COS [A
AcosX
cosX A
zr
ou, enfin,
(p) Ho-^A*AoR'z:o.
Cette égalité permet de calculer R*; mais, Ao étant positif, il faut pourtant observer que R est réel, ou imaginaire ; suivant que Ho est négatif, ou positif.
La sphère n'étant qu'une quadrique particulière, les propriétés que nous démontrerons plus loin pour les quadriques quelconques s'appliqueront évidemment à cette surface; aussi, pour éviter certaines répétitions, nous bornerons-nous à signaler, dans cette étude analytique de la sphère, quelquesunes des propriétés qui lui sont particulières,
9 V . Puissance d*nn point par rapport à une sphère. On sait que si par un point fixe Mo (Xo^ycZo) ou mène une transversale A qui coupe une sphère donnée S, aux points A et B, le produit (MA. MB) est indépendant de la direction donnée à A. C'est la valeur de ce produit, valeur positive ou négative, qu'on appelle puissance de M, relativement à S.
Prenons les équations de A sous la forme.
et représentons 1 equatioq de la sphère par
Les points A et B se détermineront en cherchant d*abord les racines de Téquation
f{Xo-]r'^y yo + 6p, ^o + Yp)=:o.
Cette égalité peut s'écrire
p' (Aa* + A'6' + AY -H 2B6Y + aB'ay + ^B"a6)
Dans le cas de la sphère, le coefficient de p* est
A (a* + 6* + ï* + 2ÔY cos X -h aoY COS i* H- 2a6 cos v),
et nous savons (§ 20) que cette expression est égale à A. Ain^i nous avons
MA.MBiz ^^^"f"''°^
et nous pouvons énoncer le théorème suivant :
Théorème. La puissance d'un point par rapport à une sphère s'obtient en remplaçant^ dans son équation, les coordonnées courantes par les coordonnées particulières du point considéré, et en divisant le résultat obtenu par le coefficient dex*.
Voici maintenant quelques propriétés élémentaires, bien connues, qui sont la conséquence immédiate du théorème que nous venons de démontrer.
98. Théorème. Le lieu des points d'égale puissance, par rapport à deux sphères, est un plan qu'on a nommé plan radleal des deif^ sphères.
Soient
Si = 0, 83=: o,
les équations des sphères proposées. Le lieu des points d'égale puissance est la surface qui a pour équation
Dans cette relation, les termes du second degré disparaissent ; le lieu cherché est donc un plan qui, pour des raisons de symétrie évidentes, esl perpendiculaire à la ligne des centres.
10. Théorème. Les plans radicaux de trois sphères passent par une même droite qui est nommée Taxe radical des trois sphères.
En effet, les équations des sphères étant
S,=o, Sa = o, 83 = 0;
celles des plans radicaux de ces sphères, combinées deux à deux, sont
Aj A2 Aj A3 Aj Aj
Ces trois égalités, ajoutées membre à membre, donnent une identité : les plans qui leur correspondent concourent donc suivant une même droite.
SO. Théorème. Les axes radicaux de quatre sphères, combinées trois à trois, sont quatre droites qui concourent en un point; ce point est dit le centre radical des quatre sphères.
En effet, les axes radicaux peWent être considérés comme les droites qui sont communes aux six plans radicaux, combinés trois à trois. Or, les équations de ces plans :
^1 Sg Sj S3 S 4 S4
Aj A, ■" ' Al Ag"" ' A, A4"" '
Oj 1^3 Og ^>4 O3 O4 ^^^
Aj A3 Aj A4 As A4
admettent une solution commune ; car si les trois premières sont vérifiées parles coordonnées a?', y', 2' d'un certain point
colles trois autres le sont aussi. Le point ai est donc situé sur les quatre axes radicaux.
SI. Théorème. La section plane d'une sphère est une circonférence.
Soit P le plan considéré, il coupe la sphère proposée suivant une courbe F; je dis que V est une circonférence.
Efifecluons, en effet, un changement d'axes et prenons le plan P pour plan XOY; la fonction S devient S, et, comme nous l'avons démontré (§ 26), nous avons
S-:K(X*4-Y*4-Z*4-2YZcosX'-+-2ZXcos(x'4-2XYcosv')
Si nous faisons Z = 0, dans l'égalité S rz 0, nous obtenons un résultat qui représente un cercle. La section F est donc une circonférence.
89. Théorème. Les points communs à deux sphères sont situés sur un cercle.
Ce théorème est le corollaire évident du précédent. Si les sphères ont pour équation, respectivement,
Sj^ 0, Sj m 0, on peut remplacer l'une d'elles par la suivante
Or cette équation est celle d'un plan ; Tintersaction de deux sphères est donc une circonférence.
83« Sphère eirconscrite à un tétraèdre. {Axes rectangulaires.) L'équation générale d'une sphère, en axes rectangulaires, étant
(1) x* 4- 2/' 4- >2^* — 2ax — 2^y — t^z —5 :=. 0,
si Ton exprime que cette sphère passe par quatre points (Mo,M,,M,,M3) qui forment un véritable tétraèdre, on a d'abord
et; aussi, trois relations analogues. En éliminant a , , y > ^ entre les équations (i) et (2) et les trois égalités qui sont sous-entendues, on obtient l'équation cherchée
x' + y'-hz'
Vo
Zr
Le coefficient du terme (a?* -h 2/' -+- ^') est le déterminant
Vo
y^ yz
déterminant qui n'est pas nul, puisque nous supposons que les points considérés ne sont pas placés dans le même plan. Si Ton veut déterminer le centre 0, de la sphère circonscrite au tétraèdre, il faut observer que l'équation (1) étant écrite sous la forme
les coordonnées de sont a, 3, y.
D'autre part, Téquation (2) et les équations analogues, soustraites deux à deux, donnent
et cinq autres relations semblables.
Si a, p, Y, sont des coordonnées courantes, ces égalités
représentent des plans perpendiculaires aux arêtes du
tétraèdre et passant, respectivement, par les milieux de ces
droites. C'est ainsi que Tégalilé (4) est vérifiée quand on
fait
X, +0-0 ^ __ y, +yo ^ z, -\-z^
l. Oéfinition. Considérons une surface 2 et, sur celle surface, un point fixe M. Si nous imaginons qu'un point M4 , mobile sur S, se rapproche indéfiniment de M, la droite MM, occupe, à la limite, une position MT, et nous dirons que MT est une tangente à S au point M.
8S. Théorème. Le lieu des tangentes à une surface S, en un point pris sur elle, est, en généraly un plan.
Soit M le point choisi, M, un point voisin pris sur S et Mo un point quelconque de MMj. Les notations ordinaires étant conservées, on a
^. yi 2, t.
Soit
f(joo,y,z,t) = o,
l'équation de.S ; X sera déterminé par Tégalité
f(x-\-^o, y + >^yo, 2+X2:o, ^-[-Xfo) = o.
Cette relation s'écrit (i) r{x,y,z,t)^\[xj'^'\ry.ry^-z,r^-^t.f^ +.... =0.
On peut alors remarquer que le point M étant sur S on a,
fix, y, z, x: o,
et, parmi les racines de Téquation (1), se trouve la solution \ — o. Si nous supposons que f [x,y^z,t\ désigne
une forme entière et homogène, du degré m, Téquation (i) admet encore m— i solutions qui sont les racinesderéqualion :
Si le point M, vient se confondre avec M, cette équation doit admettre encore la solution X =: o, et la relation
oror^+vory+z^n+hn^o,
doit être vérifiée. Dans cette égalité, Xo,yo,Zo,to, désignent les coordonnées d'un point quelconque Mo, pris sur une tangente à S, passant par M. Le lieu des points tels que Mo, est donc la surface qui correspond à Féquation
(6) x/^; + Y/-;+z/-; + T/-;no;
ce lieu est un plan.
Cette conclusion cesse d'être exacte quand on a, simultanément,
(3) /;=ro, /;r:o, f^^o, f[-o;
nous allons examiner, de plus près, ce cas singulier.
8G. Points multiples. Lorsqu'un point P pris sur une surface S jouit de cette propriété que toute droite A, passant par P, rencontre S en m points, dont (x coïncident avec P, on dit que P est un point de multiplicité (x, sur la surface S.
Si les coordonnées de P ne vérifient pas les équations (3), l'égalité (2) prouve que la transversale A menée par P ne rencontre S qu'en un point confondu avec P, du moins, en général. Dans ce cas, on a (x— 1 ; P est un point simple^
1. En employant cette notation symbolique on fait la convention suivante :
dans le développement de
on remplace les exposants qui affecteraient la lettre ^ par les indices qui indiquent Tordre des dérivées.
PLAN TANGENT. - PLAN POLAIRE 8i
Si, au contraire, les équations (2) sont vérifiées, la relation (2) devient :
et si nous cherchons le lieu des droites qui, passant par P, rencontrent la surface en trois points confondus avec P, cette équation prouve que le lieu cherché est le cône qui correspond à l'équation suivante :
{Xfa: -h Y/y -f- Z/i -h T/i)* = 0. (Notation symbolique,)
Lorsque les dérivées secondes ne sont pas nulles, simultanément, P est un point double et les tangentes à la surface, en ce point, forment un cône du second ordre, ou un système de deux plans.
S'il arrive que toutes les dérivées secondes soient nulles ; le point considéré est un point triple, et les tangentes à la surface forment un cône du troisième ordre dont Téquation est
et^ ainsi de suite.
8V. Plan tangent aux: qaadriques. Si nous appliquons à réquation Q =z la formule (0), nous obtenons le résultat suivant :
X {Ax 4- B'V -h B'z -+- CO -h Y (B'x H- A'y +Bz H- C't)
Z (B'a;-|-By + A^'^H-CO-HT (Ga;-f-C'y-»- G^^-i- D/J = 0.
Cette égalité peut s'écrire encore
X (AX + B"Y H- B'Z -h CT) -h y (B"X 4- A'Y 4- BZ -+- C'T)
^2(B'X-f BY-f-A''Z4-C"T)-+-nGX4-C'Y-hG''Z-hDT)=:o;
ou^
L'identité des deux formes
efet, d'ailleurs, la conséquence d'une propriété générale des formes quadratiques {Alg.^ § 349).
88. Remarque I. L'équation du plan tangent au point {x,y,Zyt), étant, comme nous venons de le montrer,
xa;+y/-;+z/';+t/'; = «,
et ce plan passant par le point considéré, nous avons
< + y/-; 4- 2f: + if[ - o
Ces deux équations donnent
Cette forme, donnée à l'équation du plan tangent, est quelquefois utile.
89. Remarque II. Lorsqu'une surface S passe par Vorigine 0, si est un point simple de cette surface, le plan tangent en s'obtient en égalant à zéro Vensemble des termes du premier degré.
En effet, l'équation de S est, dans Thypothèse que nous avons adoptée,
f—'^m (^> y y ^)-*- ^?m~i (^, y, -) -f- . . . -+- ^"*~' {ax + by^ cz)=o. L'équation du plan tangent à l'origine est, d'après (6'),
ou, finalement,
ax-hby-hczzno,
90. Remarque lll. Lorsqu'une droite A est située sur une surface 23, le plan tangent en un point quelconque de A, renferme cette droite.
Prenons A pour axe des z ; l'équation générale des surfaces passant par Faxe OZ est :
(i) f-<^^[x,y,z)'^t^^, (a?,y,^) 4... H- r-*(A^ -h By) = o,
ç^ ne renfermant pas le terme en z"'\ ?^ , le tewne en
2"*~* ; etc. Prenons, sur OZ, un point M dont les coordonnées soient o, o, et h. Le plan tangent en ce point a pour équation :
(a) xr: + Y/; -H (2 - A)/;; = o.
L'équation (i) ne renfermant aucun des termes z"\ y*~\ 2"*"^, ... Zy la fonction f^ s'annule, identiquement, quand on y fait ic — 0, et y =: o, quel que soit h. L'équation (2) se réduit donc à la forme
ainsi, le plan qui lui correspond passe par Taxe OZ.
Cette proposition est la conséquence, tout à fait évidente, de la définition du plan tangent, mais nous avons tenu à la vérifier par l'analyse.
91. Équation de PIAcker. — Théorème. Lorsque Véquation d^une surface se présente sous la forme
f désignant une fonction entière des formes linéaires R,S,U,V:
li:^ ax -\' by H- cz -f- dl^ ^-^a'x -{-h* y -hc'z t-d't, U =: a"x -+- b'y -+- c"z -f- d"t, V = a"x -h b"'y -h c^'z 4- d"t ;
Véquation du plan tangent F au point M, (a;, ,y, ,2, ,^J est
^fk -^^fs -^^f'v -^^fw =«• i I I I
En effet, nous avons
L'équation du plan tangent au point M, est donc
+ (o''X4-6'Y+c''Z+d''r)/'' +(a''X+6"Y+c"'Z-|-d"'T)/'i =o, ou,
C'est l'équation que nous voulions établir.
On doit remarquer que l'équation de Plûcker est applicable à une forme entière quelconque ; elle est vérifiée quel que soit le nombre des fonctions linéaires qui entrent dans Téquation considérée.
95^. C^ne circonscrit aux quadriqucs* Par un point Mo (a;o,yo>^o,<o) on peut mener une infinité de droites tangentes à une quadrique (Q iro). Nous allons montrer que le lieu de ces droites est le cône qui correspond à l'équation
400o = (a:Q;^ H- yQ;^ + ^q;^ -h tçi\^\\
Par le point Mo menons une transversale quelconque A et soit M(a;,y,z,0, un des points communs à A et à la quadrique proposée. Prenons sur A un troisième point M,(a?,,y,,;2;i,^,), nous avons
X y ^ ^ ^ ^ a?o-l->^, "^ î/o -h >^yi "^ ^o + >v2, ~^o + ^ *
et si nous posons,
nous obtenons
/'(iroH->^a?j, Vo-hy^y^, ^o+'^i* /o-+->^^i) = o. Cette équation développée donne le résultat suivant :
ou, dans une notation un peu plus simple,
Oo rh fa:, Q;+y,Q; H- ^,q; -h /,o;)x -h o.x* = o.
La droite A sera tangente à la quadrique, si les coordonnées du point M, vérifient Téquation :
Cette condition est nécessaire et suffisante ; comme elle est vérifiée par les coordonnées d'un point arbitrairement choisi sur Tune quelconque des tangentes issues de M» à la quadrique, en rendant a?,, y, ,2,,^,, coordonnées courantes, on a, finalement,
(C) 4Q0o = (otq; + yQ; + ^q; + tQiy.
08. Définition de la classe des surfaces. On appelle classe d*une surface S le nombre de plans tangents que Ton peut mener à S par une droite A, prise arbitrairement dans l'espace.
Soient Mo, M^, deux points pris sur A, en exprimant que le plan tangent à la surface qui correspond à Téquation
f{x,yyZ,t) — o,
au point U {Xyy,z,t) pris sur cette surface, passe par Mo et M,, on a, pour déterminer les coordonnées du point M, les équations :
f{x,y,z,i)=zo,
Il résulte de là que la classe d'une surface de V ordre m est tout au plus égale à m {m-- i)'.
En particulier, les surfaces du second ordre sont aussi iles surfaces de la seconde classe,
04. Mormales. La normale à une surface 2, en un point M pris sur cette surface, est la perpendiculaire élevée en M au plan tangent P, à S, en ce point M.
Si Ton désigne par a?, y, 2:,/, les coordonnées de M, Véquation de P étant
xr;+Y/*;+z/';+T/';-o,
les équations de la normale sont
0&. Plan polaire. Théorème. Etant donnée une quadrique Q; si, par un point Me (XojPo^Zo^to), on mène une transversale mobile A, rencontrant Q aux points A et B, le lieu du point [L, conjugué harmonique de Mo , par rapport au segment AB, est un plan. Ce plan est appelé plan polaire c^a Mo, par rapport à Q,
Soient X,Y,Z,T, les coordonnées de A et a?,y,z,^, celles de |x, on a
iTo-f-Xa? 2/0 4- Ày Zo-h^^^z to-h'kt'
. , AMo
A désignant le rapport -- — .
L'équation de la quadrique étant
Qir/-(X,Y,Z,T):z:o* on a donc
f{Xo -h '>-x, 2/q ■+* >^2^, Zo 4- ^2, to -f- XO = o ;
ou, comme nous l'avons déjà remarqué tout à l'heure,
Les deux valeurs de X, qui sont les racines de cette équation, représentent les deux rapports :
AMo BMo .
Ap* Bii.
rapports qui sont égaux et de signes contraires. On a donc, finalement,
(P) xf;-^yr -h-zfl -h/A'=o.
^o yo -o ^o
Le lieu du point [l est le plan qui correspond à cette équation.
L'équalion du plan polaire a la même forme que celle du plan tangent, mais les coordonnées du point de contact sont remplacées par celles du pôle. On peut observer que le plan polaire est représenté, indifféremment, par Téquation (P), ou par la suivante :
(P') ^/;-+-y/;-hv;-f-^o/*; = o.
90. Remarque. Si Ton rapproche les équations (C) (§ 92), et (P), on o'bserve que le cône circonscrit à Q et ayant pour sommet le point Mo, passe par la courbe d'intersection de Q avec le plan polaire de Mo . Ce résultat est évident, à priori,
puisque le point [x coïncide a^ec les points A et B, quand la transversale A rencontre Q en deux points confondus.
9*9 . Équailoas de la ttkugente A uae (Miurfoe. Imaginons une courbe C, intersection des surfaces qui correspondent aux équations :
Soit Mo un point de C ; la tangente à C, en ce point, est l'intersection des plans tangents aux surfaces considérées &a ce même point. Par conséquent les équations cherchées sont :
xU' H-yU' 4-^U' -f.<U' =0, xT 4-2/V -hzY' -f-^V' =0.
^o Vo ^o 'o
On peut d'ailleurs établir directement ce résultat en prenant les équations d'une droite passant par Mo et un point M, pris sur C, et voisin de Mo; puis en supposant que M se rapproche de Mo et vient se confondre avec lui.
Dans cette manière de faire, qui est l'inverse de celle que nous avons adoptée, on déduit l'équation du plan tangent de celles de la tangente.
08. Cylindre clr€M»nscrlt ù, une quadrlque. Supposons qu'une droite mobile A, rencontre une quadrique Q, en deux points coïncidents et qu'elle reste toujours parallèle à une direction fixe; savoir, celle de la droite qui a pour équation
le lieu décrit par A est un cylindre qui a pour équation
(D) 4Q9 (a, 6, y) = « + 6q; ■+- ïq;)',
en désignant, comme d'habitude, par <p (a?,y,z) le groupe homogène des termes du second degré dans la forme Q.
Cette égalité peut se déduire de l'équation (C), (§ 92), en supposant que le point {XojPoyZo) s'éloigne à l'infini dans la
direction (a, 6, y); mais nous voulons établir, directement, ce résultat.
Prenons sur A un point arbitraire M (X, Y,Z) ; les coordonnées d'un point de celte droite sont alors exprimées par les formules :
Écrivons que le point x^y^z est situé sur Q, et nous avons, pour déterminer p, l'équation
9 (XH- api Y + 6p, Z -^•rp) -h ?| (X -H ap,Y+6p, ZH-yp)H-?o = o-
ou,
P* ? («> «» y) -+- P [«?i -»" *?i -+- Wm + ?i (a»^Y)]
^?(X,Y,Z)H-9,(X,Y,Z)H-Ço = o,
ou, encore,
p>(«, 6, y) -h p («Qx 4- «Qi H- ïQx) + Q = ^•
Cette équation devant avoir ses racines égales, nous trouvons bien le résultat annoncé (D).
EXERCICES
4. Vérifier que le plan tangent à la sphère est perpendiculaire sur le rayon qui aboutit au point de contact.
1t, Exprimer que la droite qui correspond aux équations
x — Xq y — V o z-'Zq
est tangente à la sphère ayant pour centre l'origine et un rayon égal à R.
On écrit que Téquation en p a deux racines égales ; le résultat est
[ooe, -f- 6y„ + yz,)' = («' -f- 6* + v') {xl -hpl + zl- R*) .
3. Démontrer les propriétés suivantes qui, dans la géométrie de l'espace , servent de base à la transformation par polaires réciproques :
10 Si un point A est mobile dans un plan M ; le plan polaire a de ce point X pivote autour d'un point fixe ji; (x étant le pôle de M; et réciprO' quement,
2* Si A parcourt une certaine droite A, a pivote autour d'une droite fixe A'. Ces droites A,A% sont dites droites eoDjn^ées.
.^^ Les droites conjuguées sont réeîpr^quem ; c'est-à-dire que A' étant conjuguée de A , si un point B décint A', sur son plan polaire B pivote autour de la droite A ; A est donc aussi la conjuguée de A'.
LES ENVELOPPES
99. S^arffaces enveloppes. ^- DéflniÉion de la caractéristique. Supposons que Téquation d*une surface H,
f{x,y,z,(x)zzo,
renferme un paramèlre variable a; si nous donnons à ce paramètre deux valeurs particulières :
nous obtiendrons deux surfaces correspondantes 2' , 2% dont les équations sont, respectivement,
(2') f{x, y, z, a) =: o, (2^') f{x, y, ^, a -f- Aa) zr o.
Ces deux surfaces 2' , 2'', se coupent suivant une courbe y» et les coordonnées d'un point quelconque de y vérifient, simultanément, les deux équations suivantes :
Si nous imaginons maintenant que Aa tende vers zéro, la courbe y a, en général, une position limite bien déterminée, que nous désignerons par F.
Cet^e courbe F, que Monge a appelée la caractéristique,
a donc pour équations
9i HUITIÈME LEÇON
lilé â lieu quel que soit K; et Ton obtient Tenveloppe, quand il en existe une, en éliminant a et 6 entre les équations
(i) fzzo, r^zzo, r^-o.
104I. Remarque. On doit observer que dans le cas de deux paramètres variables, l'idée de la caractéristique, et la propriété qui y est attachée, disparaissent. Les surfaces qui correspondent aux équations (i) ont, en général, un ou plusieurs points communs qu'on pourrait appeler points caractéristiques. Le calcul que nous venons d'indiquer a pour but la recherche du lieu décrit par ces points ; l'enveloppe trouvée est encore tangente aux enveloppées, non plus le long d'une courbe, mais seulement aux points caractéristiques.
lOS. Théorème. Lorsque l'équation d'une surface S renferme trois paramètres variables u, v, w, cette équation étant
(i) f{x,y,z,u,v,w)zzo, et lesparamètres vérifiant légalité
(2) (p(w,t),^^^)zzo;
lenveloppe de S s'obtient en éliminant u, v, w, entre les équations données et les suivantes :
Tu 10 Tmj
Si l'on peut tirer w de la relation (2), en portant cette expression dans (i),on retombe dans le cas que nous venons de traiter. S'il n'en est pas ainsi, on peut considérer z^) comme une fonction de u et de v. On a donc
et.
LES ENVELOPPES 95
Ces égalités donnent, finalement,
106. Application. Trouver Venveloppe de plan P qui a pour équation
ux-hvy -hwz :=: i , les paramètres UfVyW, vérifiant la relation
a'u* -h bV -h c*w* =, 1 .
Les égalités (1) appliquées à cet exemple, donnent :
a*u "" b*v ~" c*w ' On en déduit, d'abord,
ux vy^ "^^ ux-hvy-hwz
a*u* bV c*w* "^ aW -h bV -h c*w' puis,
au bn^ cw'~ 1
L'équation de l'enveloppe est donc
(E) ^,-hfïH-^-i=o.
109. Idée des coordonnées tan^entielles. Lorsque les paramètres w,v,t<;, qui représentent les inverses des coordonnées à l'origine du plan P qui a pour équation
(1) t^4-vy-ht^iJ = 1, vérifient la relation
(2) ç(i^,V,tl?) = Q,
on dit que u,v,Wy sont les coordonnées tangeniielles du plan P, et (a) représente Véquation tangentielle de la surface enveloppée par P.
Nous venons de montrer, sur un exemple, comment on passait de Téquation tangentielle à Téquation cartésienne; on peut, de même, effectuer la transformation inverse et déduire, d'une équation cartésienne donnée, Téqualion tangentielle de la surface qui correspond à celle-ci.
Prenons Téquation (E), trouvée tout à Theure, et proposons-nous de trouver Téquation tangentielle qui lui correspond.
Soient x\y\z\ les coordonnées d'un point M' de cette surface ; le plan tangent en M' a pour équation
xx^ yy^ zz' a b c
Nous avons donc,
avec la condition :
ic" y" 3" a b c
L'élimination des paramètres x',y\z\ donne, finalement,
a*w* -f- bV -f- c^id^ zn 1 ;
nous retrouvons ainsi l'équation tangentielle considérée au paragraphe précédent.
108* Équation tang^entlelle g^énérale des quadiiques. Soit
ux-k-vy-^wz-hf^l^ii)^
réquation d'un plan P, que nous supposons tangent à la quadrlque qui a pour équation
f(x,y,Zyt)^o,
LES ENVELOPPES
Soient (Xo ,^0,^0, Q les coordonnées du point de contact. L'équation de P, sous une autre forme, étant,
^r -^yf -+-^r -^^r, =^>
nous avons donc
J'o ' yo '^ '^ <s
en désignant par — X la valeur commune de ces rapports.
Revenons maintenant à la forme explicite et nous obtenons les égalités :
Aa?o + B'Vo + B'^o -h C^ +mX:
Wx^ -r AVo + B^o + G7o + uX :
B'iCo + Byo + A"z, + G'7o + i^X:
Cxo + CVo + (^"z, + D/o + pX :
auxquelles il faut adjoindre la suivante :
Multiplions ces relations, respectivement , par x^yVo^^Jo et — 1, puis ajoutons les résultats obtenus, nous avons
(2) tiXo 4- 'oyo -^ wZo + pto=^o* Si entre (1) et (2) nous éliminons oTô , yo > ^o A et X, il vient
W, V, IVy p O
C'est réquation générale des quadriques dans le système des coordonnées langentielles.
t>E L. TOVB lit.
EXERCICES
1. Démontrer que si les équations d'une courbe gauche peuvent se mettre sous la forme:
le plan osculateur au point M, (a;, y, s, t), a pour équation
,'f mJI
On appelle plan osenlatenr eu uo point M d'une courbe U un plan P qui passe par ce point et qui rencontre U en un certain nombre de points , parmi lesquels trois coïncident avec M.
Le plan osculateur étant représenté par
AX-hBY4-CZ + DT = o,
l'équation suivante :
A.w (fi)+B,v (e) +C.W (e)-l-D.p (0) =: o,
doit avoir une racine triple. On a donc
Aw' + Bv' + Cio' + Dp' z=. o,
et,
Au" + Bv" + Cw" + Dp'' = o.
De cette remarque on déduit Tégalité (i).
S. Appelons, avec Monge, arête de rebronssemeat, le lieu des points communs à une caractéristique et à l'enveloppée voisiîie.
On propose de démontrer:
1° Que l'équation de l'arête de rebroussement s'obtieîit en éliminant a entre les équations:
j" Que chaque caractéristique est tangente à l'arête de rebroussement.
EXERCICES 99
3. Trouver l'équation générale du plan tangent au point M (j, y, i) en exprimant que fa section obtenue a, en M, un point double. On peut raisonner ainsi. Soit
Téquation cherchée. La projection de Tintersection sur le plan XOY admet un point double (le point Xj y). D'ailleurs on peut considérer Z, comme une fonction d*X et d'Y et en écrivant que les dérivées partielles par rapport à X et Y, sont nulles pour X = a;, Y = y, on a
' X * X ' z ' y y* ou
On en déduit
et, finalement, Téquation du plan tangent est
4. Plans réciproques. — Sarflse« de Steiaer. On considère un tétraèdre A,B,C,D, et un plan P rencontrant les arêtes de ce tétraèdre en six points que nous représenterons par
