AB)', (AC)', (AD)', (BC)', (BD)', (CD

Ces six points sont évidemment situés dans U7i plan. Nous le désignerons par P' et nous dirons que les plans P et P' sont réelproqoes pot/r rappeleique si P' est le plan déduit de P, d'après la loi précédente ; réciproquement P est te plan qui correspond à P'fdans cette transformation.

Ceci posé, on imagine que le plan P tourne constamment autour d'un point fixe M, et Von propose de démontrer que le plan réciproque enveloppe une surface du quatrième ordre et de la troisième classe.

Cette remarquable surface, découverte par Steiner, jouit de la propriété singulière d'être coupée par un quelconque de ses plans tangents suivant deux coniques ; on propose de vérifier cette proposition.

Pour simplifier les calculs od pourra considérer d'abord le cas où le tétraèdre est régulier, le point M étant le centre de gravité de ce tétraèdre ; on obtiendra alors la surface de Steiner régulière. On vérifiera, et ceci est d'ailleurs une propriété de toutes les surfaces de Steiner, que la surface repose par quatre coniques doubles sur les faces du tétraèdre de référence.

Nous signalerons a\issi la présence sur cette surface de trois droites doubles. Si par M on mène une droite recontrant AB au point I et CD au point J, en prenant le point F symétrique de I par rapport au milieu de AB et de même J' symétrique de J par rapport au milieu de CD ; l'J' est une des droites dont nous voulons parler. A un plan passant par IJ correspond un plan réciproque passant par la droite fixe FJ' ; tout point de F J' est un point double de la surface.

Comme il y a trois droites passant par M et s appuyant sur les arêtes opposées du tétraèdre, il existe trois droites doubles dans la surface de Steiner. Un plan tangent coupe la surface suivant une courbe du quatrième ordre ayant qtiatre joints doubles. C'est pour ce motif qu'elle se décompose en deux coniques.

Dans le système tangentiel, l'équation de la surface de Steiner est

Cette relation très remarquable est due à M. Moutard, Dans le système des coordonnées tétraédraJes, l'équation de la surface est

v/A^ -h y/By -h y/ci -*- v/DÏ = 0.

Elle représente un cas particulier des surfaces que De la Gournerie a nommées surfaces tétraédales symétriques simples,

6. On considère un tétraèdre ABCD et deux points M et M'. Par la droite MM' on fait passer un plan P, trouvei^ V enveloppe des plans réciproques P'.

Cette surface S, qui appartient au genre des surfaces développablesi}), est

1. Les surfaces réglées, c'est-à^ire celles qui sont engendrées par le mouvement d'une droite, sont de deux espèces : les surfaces gauches et les surfaces développables.

On distingue ces deux genres en cherchant si deux génératrices inflniment voisines ont ou non, un point ^commun. Lorsque l'équation d'un plan ne renferme qu'un seul paramètre variable, ce plan enveloppe une surface développable.

En eflfet, les intersections successives sont, comme nous l'avons indiqué, tangentes à une courbe que nous avons nommée arête de rebroussement (ex. 2); et, lorsqu'une droite A se meut en restant tangente à une courbe gauche U , le lieu décrit par A est une surface développable.

Pour le démontrer, considérons deux points A et B sur la courbe U et les tangentes cofrespondantes A et A'. Loi^que le point fi se rapproche indéfiniment de A, la droite AB a pour position limite, la droite A, et le plan (AB, A'j devient alors un plan dont la position est bien déterminée ; c'est le plan osculateur au point A. Les deux droites A et A' sont donc, à la limite, situées dans un plan bien déterminé ; c'est ce fait qu'on traduit en disant que A et A' ont, à l«t limite, un point commun.

EXERCICES 101

l'enveloppe de toutes les surfaces de Steiner qui correspond aux différents points de MM' ; elle est du quatrième ordre. En considérant parmi ceuxci les deux points pi, |ji' qui appartiennent aux plans ABC, ABD, on voit que les plans P passant constamment par {& donnent ?ur ABC des droites A qui tournent autour de (i.. Par suite, les transversales réciproques A' enveloppent une conique inscrite à ABC (G. plane ; p.5og). Cette remarque s'ap • plique au point ^' et Ton voit que la développable circonscrite à deux surfaces de Steiner peut être engendrée de la manière suivante :

On donne deux plans 'ABC, ABD et dans chacun d'eux deux coniques Y et y' tangentes à la droite AB ; par un point M mobile sur AB on mène à y et à y' des tangentes MT, M'T' ; le lieu décrit par les dt*oites Tï' est la développable 23.

6. Trouver l'équation de /llélleoide déTeloppable, surface qui est engendrée par les tangentes à VHélice.

En prenant Taxe du cylindre pour axe OZ, une droite rencontrant Vflélice pour axe OX, et une perpendiculaire au plan YOZ pour axe OY, les équa^ lions de THélice sont

x'-^y' — K\ |z=sin— ;

R désignant le rayon de base du cylindre, et / la longueur du pas de r Hélice.

On trouvera que l'équation de l'Helicoïde développable est

l VnF^ 1— arc.ig ^'-y'

Nous nous proposons maintenant de chercher les formes générales affectées par les équations de quelques familles de surfaces remarquables; telles sont les cylindres, les cônes, les conoïdes, et les surfaces de révolution qui vont nous occuper dans cette leçon.

1 QiB. Surfaces cylindriques. (Équation générale.) Soient

(i) R=:o, Tzzo,

les équations d'une droite fixe OA. Imaginons qu'une droite GH, parallèle à OA, se transporte en s'appuyant constamment sur la courbe G qui a pour équations

(2) Uizio, \ = o.

Les équations de la génératrice GH sont

OL, 6, désignant des paramètres arbitraires.

Les égalités (2) et (3) sont vérifiées par les coordonnées du point 6; si nous éliminons x,y,Zy entre ces équations nous trouverons que les paramètres a, 6, vérifient constamment une certaine relation que nous représenterons par

Pour avoir le lieu décrit par GH, il reste à éliminer a et 6 entre (3) et (4). L'équation de la surface cylindrique est donc

(A) AR,T) = o.

fiÉNÉRATION DES SURFACES 103

Le premier membre de l'équation d'un cylindre présente donc cette propriété remarquable d'être wne fonction de deux formes linéaires.

Fig. i3.

Ce fait algébrique est caractéristique des surfaces cylindriques; c'est ce que nous allons montrer.

1 lO. Théortme. Lorsgi'e réqualîon d'une surface S peut se mettre xous la forme