AB,T

R, T, désignant des formes linéaires; cette surface est un cylindre.

Coasidérons l'équation indéterminée

Cl') /(».«) = ».

laquelle, en général, admet une inanité de solutions; soit (a' ,6') l'une de ces solutions. Prenons maintenant la droite  qui a pour équations

si nous chercbons rinlerseclion de A et de S', il faut résoudre les équalion.s (i) pl (a) qui, par combinaison, donnent

/■(»■,!■) = », égalité qui est vérifiée, par hypothèse. Ainsi les trois équa-

lions (i) et (a) se réduisent à deux, la droite A rencontre donc S en un nombre infini de points ; en d'autres termes, A est située sur S.

Si nous imaginons maintenant toutes les solutions de (i') et les droites A correspondantes, en prenant une courbe U qui les rencontre toutes, on pourra considérer S comme une surface engendrée par une droite A qui est constamment parallèle à la droite fixe qui a pour équations

ainsi, la surface 2 est un cylindre.

D'ailleurs, et c'est une remarque qu'il importe de faire, tous 1 es points de S ont été obtenus par le procédé que nous venons d'exposer. En effet, soit Mo un point de S, on a :

/•(R„To) = o.

Parmi les solutions de (i') on doit donc trouver

az=R,, 6z=To;

par conséquent, la droite Ao qui correspond à cette solution, droite qui a pour équations

R = R„ T=:To,

passe par Mo; ce point a donc été obtenu par la construction indiquée pour les droites Aq.

lit. Théorème . Le plan tangent au cylindre est le ménidy pour tous les points d'une génératrice donnée. Soit

réquation du cylindre proposé et soient (Xo ,yo,^o, O ^^s coordonnées d'un point Mo pris sur une génératrice A. Les équations d'une génératrice quelconque étant :

celles de A sont donc,

(i) RzizRo, T=:T„.

Prenons maintenant, sur A, un second point M, (ir^, t/,, z,y t^) ; les plans tangents aux points Mo et M|, ont pour équation, respectivement,

(2) nrj, +Tr; =0, R/^i -+-T/; =0.

D'ailleurs, le point M étant situé sur A, ses coordonnées vérifient les égalités (i), et nous avons :

R,=:Ro, etT,=:To.

Ainsi, les équations (2) sont identiques.

1 19. Sorffaces CMioiques. Équation générale. La surface conique est déterminée par le mouvement d'une droite A, s'appuyant constamment sur une courbe U et passant par un point fixe S {Xo, Vo, z^^ appelé sommet du cône.

Le point S peut être considéré comme le peint commun aux plans qui ont pour équation, respectivement,

P — 0, Q:=io, R = o.

Les équations de A sont donc :

P-Po Q~Qo R-Ro

a , 6 , Y> désignant des paramètres variables. En éliminant rr, y, z^ entre ces équations et celles de U on obtiendra entre ;c , 6 , Y, une certaine relation

qui est, nécessairement, homogène en a,p,Y, puisque, les égalités (i) sont homogènes par rapport à ces lettres.

Les équations (1) et (2) prouvent que le lieu décrit par A a pour équation

(3) /(P-Po, Q-Oo, R~Ro) = o.

En posant :

P-'p;s:U, — QoSrV, R-Ro = W, réquation (3) devient :

(B) /•(U,V,W)=:o, f désignant une forme homogène des lettres U,V,W.

Fig. 14.

Cette propriété est caractéristique des surfaces coniques. C'est ce que nous démontrons dans le paragraphe suivant.