Théorème. Si les équations

U = o, V=zo, W=:o,

représentent trois plans ayant un seul point commun S, point situé à distance finie, et si /'(U,V,W) est une fœ^me homogène des lettres U,V, W, V équation

(S) nu,v,w)=o

représente un cône ayant pour sommet S.

Désignons par a , p , y une solution de Téquation (S) et considérons la droite A qui a pour équations. *

Cette droite passe par S et elle est située tout entière, sur la surface (E), puisque nous supposons

Si nous imaginons toutes les solutions de Téquation (i) et les droites A qui leur correspondent, si nous traçons ensuite, sur la surface considérée S, une courbe A rencontrant toutes ces droites, nous pourrons dire que S est engendrée par une droite passant par un point fixe et s'appuyant sur une courbe donnée ; en d'autres termes, 2 est une surface conique.

On voit d ailleurs, en reproduisant le raisonnement que nous avons donné plus ha ut (§ i lo), que tous les points de H peuvent être obten us par la génération précédente.

114. Théorème. Le plan tangent à une surface conique , est le même pour tous les points d'une même génératrice G. Prenons, sur la génératrice G qui a pour équations

deux points Mo, M^.

lies équations

représentenl les plans tangents correspondants. Nous avons, d'ailleurs,

Un__V«Wo ,U,V,.__W,.

par suite,

Mais f (U,V,\V), représentant une forme homogène, les équations (i) sont aussi homogènes: la première par rapport à Uo, Vo, Wo', l'autre par rapport à U,, V,, W,. Ainsi, et en vertu des égalités (2), les deux équations sont identiques.

1 15. Remarque. Les formes linéaires U^V, W que nous avons considérées plus haut (§112) sont homogènes par rapport aux binômes :

réqualion (B), du paragraphe cité, est donc aussi homogène par rapport à ces binômes. Ainsi V équation d'Une surface conique est homogène par rapport aux binômes x — Xo^y — yo, z — Zo; (070, yo» ^o) représentant les coordonnées du sommet,

La réciproque est vraie et elle peut èlre considérée comme démontrée par le théorème plus général, établi au paragraphe précédent.

ItG. Définition des Conoiîdes. Lorsqu'une droite mobile G est assujettie aux conditions suivantes:

i*^ De rencontrer toujours une droite fixe A, nommée ILiLe,

2° D'être constamment parallèle à un plan donné P, dit plan directenr^

30 De s'appuyer sur une courbe donnée y, appelée directrice i la droite G engendre un Conoïde.

Lorsque Taxe est perpendiculaire sur le plan directeur, on dit que le conoïde est droit ; il est oblique j dans l'hypothèse contraire.

Dans certains cas, la génératrice G, au lieu de rencontrer une courbe y, reste tangente à une surface œ ; comme le point de contact de G et de a décrit, sur cette surface, une certaine courbe que Ton peut prendre pour directrice, on voit que ceS deux modes de génération des conoïdes rentrent l'un dans l'autre.