Théorème. L'équation générale des conoïdes est

P,U,V, désignant des formes linéaires, La réciproque est vraie ; toute équation de la forme (1) représente un conoïde.

En effet, la droite G étant parallèle au plan directeur, Tune de ses équations est

P =z: o étant celle du plan directeur. D'autre part, les équations de l'axe étant

la droite G est située dans un plan passant par Taxe et dont réquation peut être représentée par

(i) U=gV.

En exprimant que la droite qui correspond aux équations (i) et (2) rencontre la directrice, on obtient, entre les paramètres variables a, 6, une certaine relation

Le lieu décrit par G est donc la surface qui a pour équation

Réciproquement y toute équation de ce genre représente un conoïde. Prenons, en effet, une solution particulière a', 6', de réquation

et considérons la droite G qui a pour équation

G est située, tout entière, sur la surface considérée, puisque f (a', 6)=:o. De plus, on voit que G, dans son mouvement, reste parallèle au plan qui a pour équation P = 0, et rencontre constamment la droite qui correspond aux équations U=:o, V=zo. En traçant, sur la surface (G), une

courbe rencontrant toutes les droites 6, on voit finalement que cette surface est un conoïde.

tlB. Surfaces de révolution. Equation générale. On

sait qu'une surface de révolution S est engendrée par la rotation d'une courbe U, plane ou gauche, autour d'une droite fixe A, nommée axe de la surface. Tout point M, pris sur U, engendre un cercle ayant son centre sur A, ces cercles sont les parallèles de S; enfin, les sections obtenues par des plans passant par Taxe sont des courbes égales, dites méridiennes. Prenons sur Taxe un point 0' {Xo, Poy Zo) ; et soient

x-'Xo y — yo Z'-Zo

les équations de cette droite. Le parallèle MM' peut être considéré comme étant obtenu en coupant la sphère de centre 0',

Fig. i5.

et de rayon O'M, par un plan, passant par M, perpendiculairement à A. Les équations du parallèle F sont donc:

S= (a;— a:o)*+(2/— yo)'+U— ^o)*+2(y— y,)(2— s3ro)cosX + 2{z^Zo){x-Xo)cos\f.'{-2{x—Xo){y—yo)cos^ = i,

et V = (x{x — Xo) + e(y'-y,) + y{z-'Zo) = ^.

Les coordonnées de M vérifient, à la fois, ces deux équations et celles de la courbe U. En éliminant a?, y, 2 entre ces quatre équations, on obtiendra, entre les paramètres vaiîables (I, 8), une certaine relation que nous représenterons par

Ainsi, le lieu décrit par F est une surface qui a pour équation

/•(S,P) = o, les formes S et P ayant la signification indiquée.

ftt9. Théorème. Lorsque V équation d'une surface ^petU se mettre sous la forme suivante :

S représentant le premier membre de Véquation d'une sphère^ dans le système d'axes qu'on a choisi ; P étant une forme HnéairCy cette surface S est de révolution; et les équations de raxe s'* obtiennent en abaissant du centre de la sphère (Szno), une perpendiculaire sur le plan (Pizzo).

En effet, soit (a' , 6') une solution particulière de Téquation

Considérons le cercle V qui correspond aux équations

r est situé tout entier sur S, puisque f (a' , 6') zn o. Le centre de r s'obtient d'ailleurs en abaissant du point 0', centre de la sphère (2), une perpendiculaire A sur le plan (3). Cette droite A est fixe, quand a' et 6' varient; et si Ton imagine une courbe U rencontrant tous les cercles tels que F, qui con*espondent aux solutions de (1), on pourra dire que S est engendrée par la rotation de U autour de A. La surface ^ est donc de révolution.

190, Théorème. Le plan tangent à une sur face de révolution est perpendiculaire sur le plan méridien qui passe par le point de contact.

Prenons des axes rectangulaires, ayant pour origine le point 0' de Taxe A (flg. i5). L'équation de S est alors