X* + Y2 + Z*, AX + BY + CZ

en posant

(i) 5S:X*4-Y*+Z*, et (2) /)=:AX-hBY-hCZ.

Soient Ç , r^ , Ç , les coordonnées du point M, dans le système (0' , XYZ.) L'équation

(X - 5) /•; 4- (Y - yj) ^; +(Z- î) f'^ = «, représente le plan tangent au point M. On a, d'ailleurs,

/^zsîZ/'l + G/-;; et réqualion précédente devient ;

(3) (X - 5) {Af\ -H A/-;) + (Y - rî) (2 r/; -4- W',)

D'autre part, les équations de l'axe s'obtiennent en abaissant, du centre de la sphère (1), une perpendiculaire sur le plaû (2) ; par conséquent, les équations de A sont

ABC Le plan qui passe par A, et par le point M, a pour équation

«' ia-i)+i(è-i)-c-(!-i)=».

et pour démontrer que les plans (3) et (4) sont rectangulaires, il suffit de vérifier l'identité évidente

(^'Z^: + A/*;) (Ct) - BO + (at;/^; + hQ {K - C5 )

191 . Corollaire. La normale, enunpoint arbitrairement choisi sur une surface de révolution, rencontre l'axe.

Cette propriété qui peut s'établir directement, et très simplement, en prenant Taxe de la surface pour l'un des axes de coordonnées, est la conséquence géométrique immédiate du théorème précédent.

Si Ton observe qu'une surface de révolution peut toujours être engendrée par la rotation d'une méridienne autour de Taxe, on voit que les plans tangents à une surface de révolutiouy le long d'un parallèle donné, vont passer par un même point, situé sur Vaxe,

On déduit encore de cette remarque, et du corollaire I, que les normales à une surface de révolution le long d^un parallèle donné, coupent Vaxe de la surface au même point.

199. CondiÉionpour qu'une quadrique soit de révolution. Lorsqu'un e surface du second ordre est de révolution, son équation étant une fonction de la forme sphérique S et de la forme linéaire P, on a

et, par suite, si les axes sont rectangulaires,

?« (^,^,3:) — S (a;' + 2/' -h z*) =: 6 (mx -h ny -hpz)%

Cette identité est caractéristique des surfaces du second ordre de révolution; elle sert de base aux développements qui suivent.

La forme quadratique

étant un carré parfait, nous avons démontré en algèbre (§ 353)

De L. Tome lll. 8

lU NEUVIEME LEÇON

que tous les mineurs du discriminant sont nuls. Le discriminant de la forme (i) est

et Ton a

{^) B'(A'-S)=:BB", (3) (A'-S)(A''-S) = B% B" (A" - S) = BB' ; (A''— S) (A — S)=:B'*.

On doit ici distinguer deux cas, suivant que le produit BB'B" est nul, ou différent de zéro.

!«' Cas. Si l'on suppose d'abord BB'B" ;zf o, les égalités (2) donnent

D'ailleurs, si ces relations sont vérifiées, les égalités (3) le sont aussi.

Les nombres : •

B'p'' UR" ïin'

se rencontrent dans un grand nombre de questions relatives à Tanalyse des quadriques ; pour une raison que nous donnons plus loin, nous les appellerons nombres de JacohL

Ceci posé, on peut énoncer la propriété suivante :

Dans le cas général^ pour qu'une surface du second ordre soit de révolution^ il est nécessaire et suffisant que les nombres de Jacobi soient égaux,

»e Cas. Supposons maintenant que le produit BB'B'' soit nul, et soit B" le facteur qui est égal à zéro.

Les égalités (2) et (3) deviennent

B(A — S)=:o, (A-S)(A' — S)=:::o, B'(A'— S) = o, (A'--S)(A''— S)=B', BB'i-o, (A''-^S) (A --S)~B'',

Le produit BB' étant nul, il est nécessaire que l'un des facteurs soit nul; supposons B'=io. Les égalités précédentes se réduisent, et donnent

B(A-S)3zo, (A-S)(A'-S) = o,

La première prouve que Ton doit faire l'une ou l'autre des hypothèses suivantes :

1** B;zfo, A = S; 2» B = o, A^fS; 3° Bzzio, A=:S.

Dans ces différents cas. on trouve

3° AzziA', ou A = A^

En résumé, lorsqu'une surface du second ordre est de révolution y si son équation ne renferme pas Vun des termes :

^Byz, 2B'zXy iB"xyy

il est nécessaire que deux des coefficients B, B', B" soient nuls; ou qu'ils soient nuls tous les trois, simultanément. Dans le premier cas, si l'on suppose :

B'=:o, B^ = o. et B;2iti), la quadrique est de révolution, si Von a

Dans le second cas, les coefficients B , B' , B" étant nuls, la surface est de révolution, si deux des coefficients K, A' , A'' , sont égau^t,

A93. Problème. Une qtiadrique étant de révolution ^ trouver les équations de Vaxe de la surface •

i^Considérons d'abord le cas général et supposons BB'B";zfo. En posant, comme nous l'avons fait,

B;B^ BB^ BB'

» — A jj —A g, A -— ,

l'équation de la surface prend la forme

Les équations de Taxe sont donc(§ 119),

2° Si nous supposons maintenant que nous ayons B'=:o, B''=:o, et B*=:(A — A')(A — A'^ ; réquation de la surface peut s'écrire

+ 2Byz = o, ou, encore,

A(ic'+ y'+ z*)+ 2Cx-h2Cy+ 2C"z-+-^y^j (A'-A)y-+- B^:!' = o. Les équations de Taxe sont, dans ce cas,

(A') Aa;-hC = o, B(Ay+ C) =(A'- A)(A2-f-C''). 3° Quant au cas où Ton suppose

BziiB'z=B''=:o, et A'=:A\

les équations de Taxe sont, évidemment,

EXERCICES

f . Démontrer que la surface gui correspond à l'équation

est de révolution.

On posera

P = a;4-y-f-2, S:s:af-hy*'hz% C:s:a:y^xz-hyz, et l'on observera que

P'— îCsiS.

L'équation proposée est donc