Equation générale des cylindres cirMaires droits

On écrit que la distance d'un point de la surface à Taxe est égale au rayon.

On trouve, ainsi,

, a*-f-6*-4-Y Oa applique ensuite l'identité de Lagrange. On suppose, d'ailleurs, que les équations de Taxe sont

x — Xo y — y^ z — Zo

^ . On suppose que a, 6, y représentent les angles formés par une droite avec les axes de coordonnées^ et Von demande ce que représente Véquation

2x* -f- 2y' + 22* —{ce sin a -}- y sin 6 -f- 2 sin 7)' == o.

On observe que

sin *2 -f sin '6 + sin "y = 2 ,

et on applique l'identité de Lagrange.

8. Lorsque {les axes étant supposés rectangulaires) t équation d'une quadrique est symétrique par rapport aux lettres x, y y z, cette surface est évidemment de révolution autour de la droite qui a pour équation

démontrer que cette propriété subsiste ^ pour des axes obliques^ quand les faces du trièdre des coordonnées sont égales.

EXERCICES 119

Dans le cas des axes rectangulairefl, si Téquation de la surface est

(1) k{x* + y*'\'Z')'j-2B{yz + zx + xy) = }i

les nombres de Jacobi sont évidemment égaux, et la surface est de réro* Intion. On peut aussi appliquer la remarque faite à Texercice i.

Dans le cas des axes obliques, et en supposant X = fi = v, après avoir posé

S s: x* + y" + 2" + 2 cos X {xy -|- a?2 + y 2) ,

on remarque que Ton a

P* — S s: 4 sin* - {œy-^xz + yz),

et que l'équation (1) peut s'écrire :

2sm -

L'équation proposée est une fonction des formes P et S, elle représente donc une surface de révolution.

•. Théorème de Vtllareeaa. Démontrer que si l'on fait tourner une ellipse y autour d'une droite A située dans son plan^ le plan bi^tangent coupe la surface ainsi obtenue suivant deux ellipses.

Imaginons Tellipse y' qui n'est autre cbose que y, quand celle-ci a tourné de 180^ ; menons à y et à y' deux tangentes intérieures à', H" qui se coupent en sur A.

Prenons pour origine ; A pour axe oz ; la seconde bissectrice de A' et de A^, pour axe ox ; enfin une normale aux droites ox^ oz, pour axe oy.

L'équation de y est

z* — mV + («^ + 6-2; -f- A)* = ,

et celle du Tore elliptique,

En coupant cette surface par un plan bi-tangent^ plan qui correspond à l'équation

zzzimx.

on voit que la section obtenue se compose de deux ellipses qui se pro-

120 NEUVIÈME LÇÇON

jettent sar le plan xoy suivant deux autres ellipses ayant pour foyer commun le point 0.

On examinera aussi le cas particulier où l'ellipse y est remplacée par un cercle et Ton vérifiera que la section obtenue par le plan bi-tangent est un svstème de. deux circonférences.

LES QUADRIQUES D'aPRES LEUR ÉQUATION GÉNÉRALE

ÉTUDE ANALYTIQUE DU CENTRE. — DISTINCTION DES QUADRIQUES EN CINQ CLASSES

194. HéfiniUon da centre. On dit qu'un point C est un centre d'une surface S, lorsque toute transversale D passant par G rencontre S en des points qui sont, deux à deux, placés symétriquement par rapport à C.

Sans entrer dans des considérations générales qui ont la plus grande analogie avec celles que nous avons développées dans la géométrie plane, nous nous bornerons à rechercher dans quel cas les quadriques admettent un ou plusieurs centres; nous déduirons de cette étude une première classification des surfaces du second ordre.

195. Théorème. Lorsque le discriminant à de la forme ternaire <p, (a?,y ,;?) (*) est différent de zéro ;!** la quadrique Q qui correspond à V équation f{x, y, z)^zo,

f(x,y,z):^ ?. (00, y, z) -f 9, (a;, y, z) + ?o, a un centre unique, à distance finie.

(1) La fonction 93 (a:, y, 2) revient fréquemment, dans Télude des quadriques ; pour éviter la complication de récriture nous convenons ici de la représenter le plus souvent par la lettre 9.

2** Les coordonnées de ce point sont données par les équations

qui admettent une solution unique et finie.

Considérons un point Mo dont les coordonnées sont Xo, y©, Zo, et soient

les équations d'une droite D passant par ce point. Pour déterminer les points communs à D et à Q nous devons résoudre l'équation

f(Xo + ap, Va 4- *pj ^0 + ïp) = o, qui peut s'écrire

f (a?o, yo, Zo) + p ^<^ + 6/^;^ -f y/'.J + P>. (a, 6, y) = 0.

Pour que le point M© soit un centre de Q,il est nécessaire et suffisant que l'on ait, quels que soient a, 6,. y?

et, par conséquent,

Réciproquement, s'il existe un point dont les coordonnées vérifient les équations

ce point est un centre de la quadrique considérée. D'ailleurs, les équations

Ao: -f-BV-f B'z-hC =0,

(y') B'x-i-A'y + Bz +G'=o,

B'x + By ^A^z^G' — o,

admettent une solution unique et finie, si Ton suppose

le théorème énoncé se trouve donc démontré.

1I90. Théorème. Lorsqu'on transporte les axes de coordonnées au centre d'un quadrique :

1* les termes du second degré restent les mêmes; 2® les termes du premier degré disparaissent; 3^ la nouvelle constante D| se calcule par Végalité

Le déterminant A n'étant pas nul, désignons par a?o, Voy ^o, la solution des équations

Si nous transportons les axes parallèlement à eux-mêmes au point Mo, les formules de transformation sont

x = Xo + X, y = yo + Y, z = Zo'hZ,

et réquation de la quadrique, dans le nouveau système, est

/•(iCo-f-X, Po+Y, Zo-hZ) = o, ou

Les coefficients des termes en X, Y, Z, sont nuls, d'après les relations (C), et la nouvelle équation est

en posant,

D^=f{Xo,yoyZo).

Nous voyons déjà que les termes du second degré n'ont pas été modifiés et que ceux du premier degré ont disparu. Il nous reste à calculer D^.

A cet effet, considérons les égalités

Aa?o-l-B'Vo+B'Zo + C B'Xo-hBy^+A'z^ + C':

Multiplions-les, respectivement, par Xo, i/o, Zo, puis ajoutons les résultats obtenus; nous avons

f(Xo,yo,Zo) — too — C'2/0 — C"zo — D = 0,

(2) Cx, + Cpo -h C'Zo -h D — D, =1 o.

En éliminant Xo, Vo, Zo, entre (1) et (2) il vient, finalement,

ou, par une transformation évidente,

19*9. Oistinetion des quadriques en cinq

Les équations

représentent trois plans que, pour la commodité du langage, nous nommerons les plans du centre.

Ces plans peuvent affecter des situations relatives diffé-

rentes qui sont, sans exclusion, résumées dans le tableau suivant.

Les plaDs du centre forment un véritable trièdre.

Les plans du centre sont parallèles à une droite et forment une figure prismatique , ou bien deux plans du centre sont parallèles, le troisième étant quelconque .

Les plans du centre passent par une même droite ; ou bien, deux plans sont confondus, le troisième étant quelconque.

Les trois plans du centre sont parallèles.

Les trois plans du centre sout confondus.

Un centre unique t à distance finie,

(t reclasse.)

Un centre unique rejeté à V infini.

(fie Classe.)

Une ligne de centres, à distance finie.

(Se Classe.)

Une ligne de centres a l infini.

(4e Classe.)

Un plan de centres, à distance finie,

(Se Classe.)

Cette propriété des quadriques d'avoir un ou plusieurs centres, à distance finie ou infinie, les divise, conformément au tableau précédent, en cinq classes. Il nous reste à montrer comment, au point de vue analytique, on reconnaît que la quadrique qui correspond à une équation donnée appartient à l'une ou à Tautre des classes que nous venons de créer.

Les surfaces de la première classe sont caractérisées par Thypothèse A ;zf o ; nous allons chercher quelles sont les relations ((ui caractérisent les autres classes. Mais nous ferons ici, préalablement, une observation qui facilite la discussion suivante.

19S. Remarque. À'^ ron considère le tableau rectangulaire.

A' désignant un déterminant du troisième ordre pris dans ce tableau (et autre que A), si Von suppose A = o, /e hessien H de la surface est nul y ou différent de zéro, en même temps que A' Soient, en effet,

D'autre part, A étant nul, on sait qu'il existe des paramètres X, [X, V, qui ne sont pas tous nuls, et qui vérifient les égalités

= 0, (v;zfo)

(i) XA+ii.B"4-vB' 0,

(2) ÀB"+ijA' + vB 0,

(3) ^B'+iaB+vA" 0.

On a donc

G G' XG-^ixC'-^vG" D

vH + (XG 4- IaG' + vC") A' z=.o,

Ceci posé, Eoit d'abord H 1= o; si A' est nul, la propriété énoncée se trouve établie; sinon, il faut supposer que