XC-f-ixC'-f-vC'' = o

Cette égalité et les relations (1) et (2) représentent des équations linéaires et homogènes; elles admettent donc une solution différente de zéro et leur déterminant est nul. Or ce déterminant est justement A' ; ainsi on ne peut pas avoir H rz o, si Ton n*a pas aussi A' z= o.

Supposons maintenant H ;zf o ; comme v n'est pas nul, on peut écrire •

et, par suite,

A';2fo.

1 99. Propriété «utraetéristiqae des surfaces de la seconde classe. Dans les surfaces de la seconde classe y owa ; 1° A z= 0, 2° H ;zf o.

En effet, dans les équations y' (§*25) tous les déterminants caractéristiques (*) ne sont pas nuls; car si Ton avait A' r=o on aurait aussi H =: o, ce que nous ne supposons pas. Ces équations n'admettent donc pas une infinité de solutions et nous sommes placés dans le cas de Timpossibilité. Les surfaces considérées sont donc de la seconde ou de la quatrième classe.

Cette dernière hypothèse doit être rejetée. En efifet, si les plans du centre sont parallèles, tous les mineurs du second

ordre de A sont nuls et la forme quadrique 9 est carré parfait. (Alg. §353).

On a donc

f[x,y,z,t) = F-h 2i (Co; + C'y -f C''^ -|- - /).

Le produit

2^ (Ca; + G V + C''2 -f- 7 0,

peut èlre remplacé par une différence de deux carrés. Ainsi \di forme f est une somme de trois carrés^ son discriminant H est donc nul. (Alg. 348.) Ceci se reconnaît d'ailleurs directement en développant d'abord le hessien, puis les mineurs du troisième ordre, par rapport aux lettres C, C, C", D.