Voyez Alg.' {% loi et loa), théorème de M. Rouchk

En résumé si A est nul, et si H est différent de zéro, la surface qui correspond à Téquation proposée ?st de la seconde classe.

130. Propriété caractéristique des surfaces de la troisième classe. Lorsqu'on suppose

A=:o, et H=:o,

si tom les mineurs du second ordre de A ne sont pas nuls, la surface qui correspond à Véquation donnée est de la troisième classe.

Dans le tableau (U) tous les déterminants du troisième ordre sont nuls, puisque nous supposons A =z o, H = », et par suite A' =: o.

Les équations (C) admettent une infinité de solutions; la surface considérée est de la troisième ou de la cinquième classe. Mais les mineurs de A n'étant pas tous nuls, les plans du centre ne peuvent pas être confondus ; la surface est de la troisième classe.

Gomme il y a une ligne de centres, on voit, par des considérations géométriques évidentes, que toute section faite dans la surface par un plan passant par cette droite est formée de deux droites parallèles. Ainsi la surface est un cylindre elliptique ou hyperbolique,

131. Propriété csaractéristique des surfaces de ia quatrième classe. Lorsqu'on suppose

A=zo, Hzzo,

si tou^ les mineurs de A sont nuls, mais non tous les mineurs du second oindre du tableau (U), la surface est de la quatrième clause.

Les plans du centre sont parallèles, puisque tous les mineurs de A sont nuls ; la quadrique est donc de la quatrième ou de la cinquième classe ; mais .les plans ne sont pas confondus, puisque tous les mineurs du second ordre de (U), ne sont pas nuls. Ainsi la surface ne peut pas être de la cin-

quième classe; finalement, elle est donc de la quatrième classe.

Comme nous Tavons déjà remarqué plus haut (§ 129), la forme 9 est un carré parfait et Ton a

Sous cette forme, nous voyons que la surface est un 'cylindre, et en la coupant par l'un des plans de coordonnées, nous trouvons une parabole; concluons donc que les surfaces de la quatrième classe sont des cylindres paraboliques.

113^. Propriété earaetéristique des surfaces de la cinquième classe. Lorsque Von a

Aino, Hz=:o,

si tous les mineurs du second ordre du tableau (U) sont nuls, la surface est de la cinquième classe.

En effet, les mineurs de (U) étant nuls, les plans du centre coïncident.

Il est facile de vérifier par l'analyse que la surface représente alors deux plans parallèles.

On remarque d'abord que l'on a

D'autre part les mineurs du second ordre de (U), égalés à zéro, donnent :

A'Cz=B"c, ]rc"=B'cy,

ou,

On a

donc

f{^yy^

z)z=z^{Ax

(Ax

et, en ]

posant,

Xx -h W'y

hB'z

De l

. Tome 111.

on trouve

f{x,y,z) s: i F + aXP -»- D = -J (P + XA)' -+- D - X'A

L'équation / = o, représente donc deux plans réels, imaginaires, ou coïncidents, suivant que Ton a :

A(AX* — D)>o, A(AX' — D)<o, A(AX* — D) = o; c'est-à-dire

C*— AD > o, C — AD < 0, ou G*— AD = o.

133. Résumé de la diseussion préoédenie. Nous résumerons dans le tableau suivant les propriétés que nous avons successivement établies dans cette leçon.

Az=

4" Classe. ^

2« Classe. \

o, ouH=o.

S« Classe.

4e Classe.

5* Classe.

: o (TotJis les mineurs du second ordre de ^ ne sont

JJ zn o P«s nuls),

A zz: (Tous les mineurs du second ordre de A sont nuls ,

H m o ''wi** ^ot« ceux de (U) ne le sont pas).

A = o {Tous les mineurs du second ordre de (U) sont

H m o nuls) .

EXERCICES

i. Vérifier que le lieu des centres des quadrigues qui passent par deux droites A, A', est un plan parallèle à celles-ci et équidistant,

S. Detix coniques U,V, sont situées : l'une dans le plan ZOY, Vautre dans le plan ZOX ; elles coupent l*axe OZ au.v mêmes points XetBet Von suppose O A = OB = /i. Enfin les axes OX et OY sont les diamètre?, conjugués des cordes parallèles à AB.

Démontrer que le lieu des centres des quadriques qui passent par U e^ V est une conique située dans le plan YOX.

L'équation générale des quadriques proposées est

X étant un paramètre variable.

Le lieu est la conique qui, dans le plan XOY, a pour équation

on vérifiera que c'est la conique des neuf points relativement aux quatre points fixes qui sont situés sur OX et sur OY ; ce résultat pouvait être prévu k priori,

S. Trouver le lieu des centres des quadriques qui correspondent à Véquation

(a 4- 3 -h y) a;* + y" + 2* — 2zy — 2zx — 2Xy)

a, p, Y désignant trois paramètres variables. Le lieu et le plan qui a pour équation

x-hy-hz = ',

On trouve très simplement ce résulat en formant Téquation