RÉDUCTION EN AXES OBLIQUES
1841. Pour entrer plus profondément dans Tétude des quadriques, et aussi pour arriver plus simplement à la découverte de leurs propriétés, nous nous proposons maintenant de distinguer, dans chacune des classes que nous avons trouvées, d'après Taspect général de la surface, les différents genres qu'elles comportent. Comme dans la géométrie plane, les propriétés algébriques des formes quadratiques vont encore nous servir à résoudre le problème que nous venons de nous poser. Elles nous permettront, notamment, d'indiquer pour chacune des classes, mais en axes obliques, une équation réduite dont la discussion nous conduira à reconnaître les formes principales affectées par les quadriques. Nous verrons plus tard que ces quadriques, aux aspects variés, ne se différencient pas moins par certaines de leurs propriétés, que par leurs formes.
13S. Théorème I. Les surfaces de la première classe, rapportées à des axes convenablement choisis, ont une équation de la forme :
(I) aX*+a'r4-a"Z* = H,
fit, a' a" désignant des coefficients différents de zéro, et H le Hessien de V équation proposée.
1 . Cette le^on correspond à la question du programme : Application des propriétés des polynômes homogènes à la classification des surfaces du second Ordre et à ta réduction de Véquation du second degré.
Nous supposons A ^ o, par conséquent la forme 9 est décomposable en trois carrés de formes linéaires indépendantes. Écrivons donc.
ç s: 5 (oo; + 6y -f cz^-h •' (a'x -^ h'y -f- c'z)* + i" {a"x -^ h'y + c"z)\ ou, dans la notation abrégée,
f =: ew* 4- s V -f- i"io\ en posant
u:^ax + hy-{-cz, v:s: a'x-^b'y-^c'z, wi^a^x-h h"y-^c"z. Nous avons donc,
-+- 2 (C -h Aô 4- X'6' -f- X''6") y 4- 2 (C' -f Xc + XV'-f- XV) 2? -4.D — X'-^X'* — V".
Déterminons maintenant les paramètres X, X , X , et posons
Xa-4-XV-hXV + C =0, X6-hV^>'-hX"6''-hC'=o, Xc+XV-hXV-+-C' = o.
Le déterminant des inconnues est
jf
c'est précisément, le déterminant des formes w, v, w, lequel n'est pas nul, puisque ces formes sont indépendantes. Dans ces conditions, nous pourrons écrire :
Cette remarque étant faite, considérons les équations
(2) U = o, Vizio, W = o,
et soit (O'.XYZ) le trièdre formé par ces trois plans, trièdre
véritable, ayant son sommet à distance finie, puisque le déterminant des équations (2) n'est pas nul.
Fig. 16.
En effectuant la transformation, en passant du système proposé {o,xyz) au système nouveau (O'.XYZ), une forme linéaire 6 devient une forme linéaire des lettres X,Y,Z. En particulier U devient une forme qui, égalée à zéro, doit représenter le plan YOZ. D'après cette remarque,
U devient mX
V » nY
W » pZ,
et la surface considérée, rapportée à ces axes nouveaux, a pour équation
( 1 ') em*X* -h e W + ey Z' + h = o.
La nouvelle origine 0' est, d*après ce résultat, un centre de la surface; si celle-ci est un cône, (si Ton aH=:o), l'équation (1') doit être homogène par rapport aux lettres X,Y,Z, et Ton a, par conséquent, A =1 o. On peut donc poser
A = — KH et,
finalement, l'équation (I) représente toutes les surfaces de la première classe.
136. Théorème II. Les surfaces de la seconde classe peuvent être représentés par Véquation réduite.
(II) gr + p'z'=2X.
Nous supposons A =: o, mais H;2f o ; il résulte de cette hypothèse que la forme quadratique ç est la somme de deux carrés, mais qu'elle n'est pas un carré parfait (§ 129). Posons donc
9 =: (oo? + 6y -f. czf ± {a'x -^-b'y H- c'zf , et, par suite,
f{x,y,z) :=:±{ax-hby + cz)' ±{a'x-{-h'y -h c'zy-hmx -^ ny -hpz -h g, d'ailleurs, les plans qui correspondent aux équations
a'x -\- h'y + c'z = o, mx -i-ny-^-pz 4-5^=0;
forment un véritable 4rièdre'. En effet, si ce système était incompatible, ou indéterminé, le déterminant
abc a' b' c' m n p
serait nul; mais alors les trois formes v, w^ w, v:^aX'\-by-{-cz, wz^a'x-^b'y-^c'z, u:^mx + ny +pz, vérifieraient la relation linéaire,
et f\x,y,z,t) serait une forme quadratique des trois lettres u,v, t;f serait donc décomposable en carrés, dont le nombre serait tout au plus égal à trois ; par suite, son discriminant serait nul, ce que nous ne supposons pas D'après cela, nous pouvons poser
les équations
l'eprésentant trois plans formant un trièdre (0',XYZ\ que nous pouvons prendre comme trièdre des nouvelles coordonnées.
Le raisonnement qui nous a servi au paragraphe précédent prouve, tes notations étant conservées, que la nouvelle équation est bien identique à (II).
13V. Théorème III. On peut toujours ramener V équation des surfaces de la troisième classe, à la forme,
(ni) y\'-hYY* — h.
Nous rappelons que dans les surfaces de la troisième classe les déterminants A et H sont nuls, mais tous les mineurs du second ordre de A ne sont pas nuls; ç est donc décomposa ble en deux carrés et nous avons
ç := £ {ax H- by -f- cz)* -f s' (a'x h h'y -4- c'z)* ; par suite,
/•-: £ (ao? + ôy -+ czy -I- e' {a'x-^ h'y ^ c'z)' + 2 (Ca? -h C'y -^G'z) -4- D = o ,
ou
/'=:£tt*H-eV4 2IIJ + D,
en posant
u:^aX'\-by-\-cz, v s: a'x-^-b'y-^c'Zy w = Ca?-i d'y+C^'z .
Je dis que les formes u,ve\w ne sont pas indépendantes. En eflfet, nous avons
- f':^ amA- a't't)-^ C.
-/":==: C£ w -f-cVv -h C".
DIVISION EN GIvNRES. - RÉDUCTION
Dans le cas des surfaces qui nous occupent, les formes /' >/*' 5 /*' » égalées à zéro, donnent des équations qui admettent
jF y z
une infinité de solutions; en considérant sm, et s'y, comme des inconnues, le déterminant 5',
est donc nul et les formes u, v, w vérifient identiquement une relation linéaire, et homogène.
Cette remarque étant faite, écrivons
(i) f^z{u—\y^ t\v—\y-^ix[atK+a'î!\'-^C) + 2y (ôeX^f- 6VX' + C)
-y 2Z (ceX 4- c'-JV + C) -f- D - sV — s' V.
Si nous considérons maintenant les égalités :
iaeX + aVX'-hC 1=0, Ô£X4-6VVh-C'=o, csX4-cVX' + C''=3o.
qui constituent trois équations entre les inconnues eX, e'X', il est facile de reconnaître qu'elles admettent une solution unique et finie.
En effet, le déterminant général est S', et nous avons montré que 8' était nul; de plus, si Ton considère le tableau rectangulaire
tous les déterminants du second ordre déduits de ce tableau ne sont pas nuls; car, s'il en était ainsi, les formes w et t? ne seraient pas indépendantes et 9 serait un carré parfait ; cette conclusion ne peut être acceptée, puisque tous les mineurs du second ordre de A ne sont pas nuls.
En résumé, les équations II admettent donc une solution
unique et finie (Théorème de M. Rouché), et en considérant cette solution, pour la substituer dans (i), nous avons
/•=: eU* 4- e'V" -f- k.
En prenant les plans (U = o, Vz=o) pour YO'Z, ZO'X ; puis, pour YO'X, un troisième plan coupant la droite commune aux deux premiers, l'équation de la surface devient identique à (III).
138. Théorème IV. L'équation des surfaces de la quatrième classe peut être ramenée à la forme
(IV) V + ^X = o.
Supposons maintenant que H et A soient nuls, ainsi que tous les mineurs du second ordre de A, mais non totis les mineurs du second ordre du tableau rébtangulaire.
Dans cette hypothèse, 9 est un carré parfait. Nous pouvons poser
9 = {ax -h 6y + cz)\ et, par conséquent,
f[x^y,Zyt) =: [ax + 62/ + ^^T "+" ^ (^'^ ^ ^'y + ^'^ + Ï^O > ou
(i) f(:X,y,z,t):=:u' + vt-[-\yt\
en écrivant
u-^ax-k-by-^cZy v =: a'x + b'y-hc'z
Les plans qui correspondent aux équations
WZZIO, v=o,
se coupent ; car s'ils étaient parallèles, on aurait
et f représenterait une forme quadratique des lettres u et t ; f serait donc une somme de deux carrés et Ton pourrait écrire.
f{x,yyZ,t) =: {ax -i-by-hcz-h dt)* -f ht*.
Cette conclusion est en contradiction évidente avec l'hypothèse que nous avons faite et en vertu de laquelle tous les mineurs du second ordre du tableau rectangulaire qui correspond aux équations.
ri=o, f'=o, r:=o,
ne sont pas nuls.
Ainsi, dans l'identité (i), les formes w, v, égalées à zéro, donnent deux plans correspondants qui sont sécants. En prenant ces plans, et un troisième non, parallèle à leur droite d'intersection, pour plans de cordonnées, le raisonnement que nous avons fait aux paragraphes précédents, prouve que l'équation (IV) représente bien, dans ce système, la surface considérée.
139. Théorème V. Dans les surfaces de la cinquième classe, on peut toujours ramener leur équation à la forme
Nous avons fait remarquer précédemment (§ i32)que Téquation des surfaces de cette classe pouvait se mettre sous la forme
f(x,y,z,f) :=: {ax + 6y -h 02: + ^0* + ht* ,
en prenant pour plan XO'Y celui qui correspond à Téquation
ax + by + cz -{- dt=: 0,
les deux autres plans étant arbitrairement choisis, mais de façon pourtant à former avec XO'Y un véritable trièdre, Téquation de la surface a donc bien la forme indiquée par l'égalité (V).
