Première classe. Division en trois genres

1» Ellipsoïdes. L^équation réduite des surfaces de la première classe permet, conformément à la discussion qui suit, de distinguer trois genres dans les quadriques à centre unique. Cette équation étant

peut s'écrire, en supposant A ^d o,

Si les quantités-, -„ -7-, sont toutes les trois positives,

nous pouvons poser.

et réquation réduite prend la forme

En faisant passer, successivement, dans le second membre les termes du premier, on voit que la surface est renfermée tout entière à l'intérieur du parallélipipède dont les arêtes ont pour longueur a', V et c'. C'est une première forme qui se distingue essentiellement de celles que nous allons rencontrer. Nous appellerons ellipsoïdes les quadriques qui affectent cette forme caractérisée par l'absence de points réels à Tinfini, forme que nous indiquons, pour la partie comprise dans le premier trièdre, par la figure ci-après.

Nous ferons observer que si les paramèlres -, —, — ,

étaient tous les trois négatifs, Téquation (!) n'admettrait aucune solution réelle. Lorsque cette circonstance se présente nous disons que la surface proposée est un Ellipsoïde Immslnalre- Enfin si h est nul, a, a', a", ayant le même signe, réquation n'admet pas d'autre solution réelle que la solution évidente X — o, Y:=o, Z^o; nous appellerons Ellipnolde «vanoDlssant la surface qui correspond k l'équation proposée.

Fig. 17

Il ne faut pas d'ailleurs attacher à ces expressions un sens autre que celui que nous venons de préciser et qui peut se résumer dans l'énoncé suivant :

Ellipsoïde iDiacti'**'*''^ > l-orsque l'équation du second degré donnée n'admet aucune solution réelle ; Ellipsoïde «vanonissant t lorsque l'équation n''admet qu'une seule solution réelle.

On remarquera que ce dernier cas ne peut se présenter que si la fonne / (x,y,z,t) est la somme de trois carrés, auquel cas le hessien est nul.

2° Hrperbol<ride8. Supposons maintenant que les coefficients -,—,—, ne soient pas de même signe; dans ces trois

nombres, il y en a un, au moins, qui est positif et nous Tafifecterons au terme en X* ; un autre est négatif, nous l'appliquerons au terme en Z*. Quant au coefficient du terme en Y*, il pourra, suivant les cas, être positif ou négatif : de là, une distinction nécessaire.

Supposons d'abord qu'il soit positif, et posons

L'équation de la quadrique est alors

OJ* «y* 2*

En coupant la surface (HJ par un plan P parallèle à XO'Y, on obtient une ellipse, et quand P s'éloigne indéfiniment, les dimensions de cette ellipse croissent au delà de toute limite. La surface qui a un centre unique et qlii n'est pas un cône est donc constituée par une nappe continue et nous appellerons hyperboloïdes ù, une nappe, les quadriques affectant cette forme générale. La figure ci-dessous donne une idée de la forme de l'hyperboloïde à une nappe, dans l'un des trièdres de coordonnées.

Fig. 18.

Prenons maintenant l'hypothèse contraire, et supposons

■" a b' c' Cette équation prouve que l'abcisse d'un point pris sur la surface (HJ est toujours supérieure à a'; cette quadrique est formée de deux nappes; nous nommerons ces surfaces des hjperboloiidès A deux nappes-

Elles ont, dans l'un des dièdres ayant pour arête XX.', la forme qu'indique la figure ig ; on suppose

141. Denxléme classe. Division en deux genres, ^oas avons trouvé que l'équation réduite des surfaces de la seconde classe était

gV + g'Z' - aX.

On peut toujours disposer du signe du premier terme, nous supposerons P > o ; on peut aussi admettre que le coetâcient du terme en X, dans le second membre, est positif; car, s'il en était différemment, on changerait la direction positive de l'axe des x. Mais le coefficient p' peut être, suivant les cas, positif ou négatif.

Si 3' est positif, l'équation réduite peut s'écrire

au contraire, si Ton suppose p' < o, Téqualion prendra la forme

h' pi q'

p* el y', désignant, dans ces deux égalités, des paramèires positifs.

Fig. 20.

Cherchons la forme générale de la surface P^. D'après son

équation, X est toujours positif ; et en effectuant, dans la surface, des sections par des plans parallèles à YOZ, h variant de zéro à -|- **> 1© plsin qui correspond à l'équation

Xr=/i,

donne, pour seclion, une ellipse dont les dimensions grandissent indéfiniment. En résumé, cette surface que nous nommerons le paraboloïde elliptique, n'a pas de centre et se compose d'une demi-nappe s*étendant, comme l'indique la figure ci-dessus, indéfiniment dans la région positive du plan YO'Z.

Enfin, l'équalion (P^) représente une quadrique, dénuée de

centre, comme la précédente, mais s'étendant indéfiniment dans la région positive et négative du plan YO'Z.

La figure ci-dessous donne une idée de la forme de celte surface qui est le parabololde hyperbolique.

Fig. ai.

!■*©. Nous n'avons pas à nous occuper des surfaces des trois autres classes, car la forme de ces quadriques est bien connue, puisqu'elles représentent des cylindres ou des plans. En définitive, la discussion que nous avons faite de l'équation générale du second degré prouve qu'il y a seulement, dans les deux premières classes, cinq genres correspondant à des formes diverses.

Nous indiquerons plus loin (Leç, 29), différents procédés pour déterminer le genre d'une quadrique dont l'équation est donnée; mais, comme nous le ferons remarquer alors la méthode que nous venons d'exposer {la méthode par décomposition en carrés, comme on l'a nommée) constitue une des manières les plus simples de reconnaître, devant une équation du second degré donnée : 1" par le nombre des carrés; 2" par les signes qu'ils affectent, la classe ou le genre de la surface qui correspond à cette équation, et de donner ainsi, finalement, le nom de la surface qu'elle représente.

La réduction à laquelle on aboutit par la méthode précédente présente une imperfection qui lient à ce que les axes de coordonnées qu'elle fournit ne sont pas, en général, rectangulaires.

De 1~ ToaE 111- 1»

A ce nouveau point de vue, la question que nous venons de traiter resle ouverte et elle sera reprise dans une prochaine leçon.

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