GÉNÉRATRICES RECTILIGNES. — CONE ASYMPTOTE
La méthode par décomposition en carrés, qui vient de nous servir à découvrir les formes diverses affectées par les quadriques, conduit aussi, 'très simplement, à la détermination des droites qui sont situées tout entières sur ces surfaces. La recherche de ces droites remarquables va nous occuper dans celte leçon ; mais nous remettons l'étude de leurs propriétés à l'époque où nous traiterons les quadriques, d'après leurs équations réduites.
1413. Crénératrices rectilig^nes/ On dit qu'une droite A est une génératrice rectiligne d'une surface S, lorsque, en supposant que A soit mobile dans l'espace, d'après une loi donnée, S est engendrée complètement par A.
Les surfaces qui sont susceptibles d'un pareil mode de génération se nomment des surfaces réglées.
Dans d'autres cas, une surface peut admettre un certain nombre de droites qui sont situées sur elle ; et qu'on nomme droites de la surface. Si la surface est d'ordre ^, une droite A est située sur elle, tout entière, lorsqu'elle a jo-J-i points communs avec cette surface.
Nous nous proposons de déterminer les génératrices reclilignes des quadriques, en considérant, dans cette recherche, les cinq genres que nous venons de distinguer.
D'ailleurs, les variétés des quadriques, cônes, cylindres, plans parallèles, ou plans sécants, adm^ettent des génératrices que Ton met en évidence, immédiatement, en décomposant
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l'équation en carrés et en appliquant, à la forme nouvelle, certains principes exposés plus haut (§ iio et ii3).
14141. Méthode K^nérale. Nous indiquerons d'abord la méthode générale pour trouver les droites situées sur une surface dont Téquation
est connue, soient
(a) xzzaz-hp, yz=^bz + qj
les équations de la droite, sous la forme réduite. Si Ton remplace x et y, en fonction de z, dans Tégalité (i), il en résulte une équation en z dont tous les coefficients sont nuls. Si les équations admettent une infinité de solutions, la surface considérée est réglée, si elles ont quelques solutions, il y a des droites sur la surface, en nombre fini; enfin si elles ne peuvent être vérifiées par aucune valeur réelle des inconnues (a, b\py q), on peut dire qu'il n'y a aucune droite, sur la surface proposée.
Il faut pourtant observer que les équations (2) ne pouvant pas représenter des droites parallèles au plan yox, on doit, au préalable, examiner ce cas particulier qui, d'ailleurs, ne présente aucune difficulté, puisque les sections faites par les plans parallèles à yox se projettent, sur ce plan, en vraie grandeur.
Dans le cas dés surfaces du second degré, la méthode que nous venons d'indiquer conduit à une difficulté que nous voulons signaler. L'équation que l'on doit considérer est
f(aZ'\'P, bz-\-q,z)=:o.
Lorsqu'elle est développée, elle donne une équation du second degré enz; et, en égalant à zéro ses coefficients, on obtient pour déterminer les quatre inconnues, trois équations seulement. On aboutit, ainsi, à une analyse indéterminée, le nombre des inconnues dépassant celui des équations.
Un pareil système peut, suivant les exemples, admettre une infinité de solutions, ou quelques solutions seulement ; il peut enfin être incompatible. De là, une discussion d'un genre particulièrement délicat et qui constitue, en général, une difficulté.
La méthode par la décomposition en carrés permet de tourner cette difficulté et de résoudre, avec la plus grande facilité, le problème que nous nous sommes posé et que nous allons maintenant résoudre.
lift&. Théorème. Les surfaces suivantes :
Ellipsoidesy Byperboloides ià denx nappes Paraboloides elliptiques.
rC admettent aucune droite.
Des considérations géométriques, tirées de la forme de ces surfaces, rend cette proposition évidente ; mais nous allons la vérifier par l'analyse.
Nous ferons d'abord remarquer qu'il n'existe pas, sur ces surfaces, de droites parallèles au plan yox. Car, en faisant 2= A dans les équations réduites, nous avons :
Ces sections sont, respectivement : une ellipse, une hyperbole qui ne peut jamais se réduire à deux droites, et une vraie parabole; ainsi, nous pouvons nous borner à rechercher les droites qui ne sont pas parallèles à yox.
Soient
les équations d'une droite A. En cherchant à placer A sur Tellipsoïde, le coefficient de 2^ étant 1 -h X' -h X'*, Timpossibilité du problème se trouve imijaédiatement reconnue. Prenons le cas de Thyperboloïde à deux nappes, qui est
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un peu plus délicat. Les équations que nous devons discuter sont
X« — X'*— 1=0, [x^ — ix"— i=zo, )v[i.=zXV
L'incompatibilité de ce système est mise en évidence en remarquant que nous avons, par combinaison,
XVz=(X'»H-i)((x'«-|-i), et
XV = vv'%
ce qui conduit à l'impossibilité suivante :
Enfin, dans le cas du paraboloïde elliptique, en prenant les équations de A sous la forme
x^mz-hUy y:=zm'z-hn\ on voit que le coefficient de z* étant égal à .
ne peut jamais être nul; p' et q' étant positifs. 1416. Théorème. Les surfaces suivantes:
admettent un double système de génératrices rectilignes.
Considérons d'abord le cas des hyperboloïdes à une nappe. Nous avons vu que la méthode de décomposition en carrés permettait de mettre l'équation de cette surface sous la forme
(i) U* — Vh-W = i.
Celle-ci peut s'écrire
OU
t désignant la valeur commune de ces rapports. Ceci posé, les équations :
représentent une droite, et si Ton cherche Tinlersection de cette droite avec la surface proposée, on doit résoudre les équations (i) (2), et (3). Or, toule solution de ces deux dernières est aussi une solution de la première ; puisque Ton reproduit (1), en multipliant les égalités (2) et (3), membre à membre. Ceci a lieu quel que soit t; en faisant varier t de — 00 à 4- 00, on obtient donc un système de droites qui sont situées sur la surface.
Ces droites sont bien les génératrices de Thyperboloïde à une nappe ; c'est-à-dire que toute la surface peut être engendrée par la droite mobile G. Mais, comme nous l'avons dit, nous reviendrons plus lard sur l'élude particulière des génératrices et nous donnerons, seulement alors, leurs principales propriétés.
Nous devons encore remarquer que l'équation (i) écrite sous la forme
conduit à un second système de génératrices rectilignes, ce système correspondant aux équations
(&) \ U-Vz:ô(i+W), ^ ^ [ Ô(Uh-V) = i-W,
dans lesquelles varie de -* 00 à + 00. Ces droites G' sont d'ailleurs distinctes des droites G précédemment trouvées ; elles constituent un second système de génératrices rectilignes de Thyperboloïde à une nappe.
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Enfin, nous verrons dans Tétude particulière, annoncée plus haut, qu'il n'y a pas trois systèmes de génératrices rectilignes; la méthode par décomposition en carrés résout donc complètement le problème qui vient de nous occuper.
Cette observation s'applique au paraboloïde hyperbolique qui possède, lui aussi, deux systèmes de génératrices rectilignes.
Prenons Téquation de la surface sous la forme
U« — V-+-W = o; celle-ci peut s'écrire
et la droite qui correspond aux équations
est située, tout entière, sur la surface proposée.
On obtient le second système de génératrices en écrivant réquation donnée sous la forme.
w ""V — U"" ' et les équations des génératrices du second système sont
1419. IMreotioos asymptotiqnes. On dit qu'une droite A a une direction asymptotique par rapport à une surface S lorsque l'un des points communs à A et à 23 est rejeté à Tinfini.
Si, par un point de l'espace, on mène des parallèles à toutes ces droites singulières, le cône ainsi obtenu est appelé cône des directions asymptotiqnes. Il existe, dans les quadriques, une relation remarquable entre les directions asymptotiqnes
et celles des génératrices. Cette relation est rendue immédiatement évidente par la géométrie ; mais nous voulons la reconnaître par Tanalyse.
148. Théorème. Le cône des directions asymptotiques s^ohtient en égalant à zéro le groupe homogène formé par les termes du degré le plus élevé.
Soit
(S) f{x,y,z) zz 0,
l'équation de la surface. En mettant en évidence les groupes homogènes, on a
f{x, y, z) is 9p {x, y,z) + <^p^ [x, y, z) -h + ?o ,
Les équations d'une droite A étant prises sous la forme
x—Xo y — yo z — Zo — — j— = = p»
on a, pour déterminer p, l'équation
?p (^0 -4- «P, Vo + 6p, z, + Yp) 4- ?p.j + .... = ou
Pour que A ait une direction asymptotique, il est nécessaire et suffisant que la relation
soit vérifiée. Si, par l'origine, nous menons des parallèles à ces droites singulières A le lieu décrit par les parallèles, est le cône qui correspond à Péquation
