Théorème. Le cône des directions asymptotiques est
Imaginaire dans /'Ellipsoïde;
Séei, dans les Hyperboloi^ies 9
Héduit à une droit e, dans le Piirabololde et dans le Cyltiidro eiliptiqaes^
Formé de deox plans, dans le Parabololide et dans le Cylindre hyperboliques 9
Constitué par an plan, dans les Cylindres paraboliques.
Cette proposition est la conséquence immédiate du théorème général que nous avons établi au paragraphe précédent et des formes affectées par Téqualion du second degré, quand on décompose celle-ci en carrés.
150. Surfaces asymptotes. Deux surfaces D, D', sont mutuellement asymptotes quand la longueur de la corde interceptée entre ces deux surfaces tend vers zéro, la corde s'éloignant à Tinfini.
151. Théorème. Le cône des directions asymptotiques qni a pour sommet le centre d'un hyperholoide^ est asymptote à cette quadrtque.
L'équation de la surface étant prise sous la forme réduite
a'* ô" c'*^' ' le cône des directions asymptotiques est représenté par
£^+£cr b'* — c'*~'''
Si nous désignons par ;2: et Z les cotes qui, dans ces deux surfaces, correspondent à la même valeur attribuée à a? et à y y nous aurons
ou,
Si la corde parallèle à Taxe oz que nous venons de considérer s'éloigne indéfiniment, z et Z croissent, sans limite, et la différence Z~2 tend vers zéro. Cette remarque prouve que les deux surfaces considérées sont asymptotes.
t&9. Théorème. Si f {x, y, z) = o, est V équation d'une quadrique à centre, Végalité
représente le cane asymptote.
Soient x^y y o, ^o, les coordonnées du centre C ; si l'on transporte les axes, parallèlement à eux mêmes, en ce point,
on a (§126)
. f{x,y,z):^<i^{X''Xo,y — yo,z — Zo) + ^'
Mais réquation
ç,(a; — iTo, y — yo, 2 — 2;o) = o,
représente un cône ayant son sommet en C et dont les génératrices sont parallèles aux directions asymptoliques. D'après celte remarque, Téquation du cône asymptote est donc
1&3. Théorème. Le cône asymptote est t'enveloppe des plans tangents à la quadrique correspondante S, quand le point de contact s'' éloigne à V infini.
Plaçons l'origine au centre de S ; désignons par a?', y', z\ les coordonnées d'un point M pris sur cette surface ; soit 9, {Xy y,z)—hzzo, son équation.
L'équation du plan tangent en M est
et si M s'éloigne à l'infini dans la direction (a, 6, y) le plan tangent correspond, à la limite, à l'équation
(P) ux-^-vy-^-ivzziro,
GÉNÉRATRICES REGTILIGNES. — COiNE ASYMPTOTE 157
en posant
(i) w=:Aa-hB''64-B'Y,vs:B''a+A'6-HBY,M?=:B'a4-B6-f A^y. Nous avons aussi
(a) 9, (a, 6, y) = o, et, par suite, en combinant cas égalités
(3) uoL'\'V6'htoy=::o.
En éliminant a, 6, y entre (i) et (3), il vient
En développant celte relation, et en adoptant la notation ordinaire pour les mineurs de A, nous récrirons
(4) au*-\- aV+ a'^w* — 2bvw — 2b'uw — ^b^uv = o.
Pour trouver Tenveloppe du plan (P) prenons les dérivées partielles, par rapport aux paramètres variables u,VfWy dans les équations (P) et (4) et nous avons
au — b"v — b^w . — b"u-\-a'V''bw — b'u — bv-ha'^w
— t désignant la valeur commune de ces rapports. Les égali-
tés
ux -\-vy +WZ zzo, ua — vb'^ — wb' + tx:=zo, ub''-\'Va' — wb 4-^^=0, ub' —vb -h wa" + tzzzz o,
donnent
HZ 0.
En développant celte équation et en tenant compte des égalités connues {Alg,, note C ; § 21), égalités qui sont d'ailleurs faciles à vérifier :1
a'a" — V- AA, a" a — b" = A'A, aa' — b"' = A"A;
ab — b'b" = — BA, a'b' — bb" = — B'A, a"b"—bb'zz:-^B'A ;
on trouve, finalement, pour Téquation de Tenveloppe,
1&4. Théorème. Si, P^^r le centre d'un hyperboloîde, on mène des parallèles aux génératrices de Vun des systèmes, le lieu décrit par les parallèles est le cône asymptote.
La surface étant rapportée à son centre, son équation peut se mettre sous la forme
u, V, Wy étant des fonctions linéaires et homogènes. Les équations d'une génératrice G sont (§ i46)
u — VZ=.t{i — w\
par conséquent, si, par Torigine, nous menons une droite A parallèle à G, ses équations sont
u — 1)1= — tw,
t{u-^v):=zw.
Pour avoir le lieu décrit par A, il suffit d'éliminer t entre ces deux équations, ce qui donne
W' — tj2 — y)*^
ou
Le lieu cherché est donc le cône qui a pour équation c'est bien Téquation du cône asymptote*
EXERCICES
i. Trouver les génératrices recUlignes de la surface qui correspond à Véquaiion
ayz 4- bzx -hcxy -+- rf = o.
L'équation du côae asymptote est
ayz -h bzx -f- cxy = o,
et, parmi les génératrices de ce cône, on aperçoit immédiatement les axes de coordonnées.
En cherchant la condition que doivent remplir les coefficients X, et |x, pour que les équations
représentent mie droite située tout entière sur la surface, on trouve que le problème est possible ou impossible suivant que abcd est positif, ou négatif.
Si abcd est nul, la surface proposée est un cône ou un cylindre.
S. Trouver toutes les droites réelles qui sont situées sur la surface qui correspond à Véqtmtion
X^ V* 2' La forme de cette équation prouve que les équations :
représentent trois droites A, A', A'', situées sur la surface. Il faut démontrer qu'il n*en existe pas d'autre.
On voit d'abord, en cherchant l'intersection de la surface (1) par un plan parallèle à yox, qu'il. n'y a pas de droites sur la surface, dans l'un quelconque de ces plans, si ce n'est dans celui qui a pour équation z rrc.
Prenons les équations d'une droites, non parallèle à ^oo;, sous la forme:
Nous obtenons alors, pour déterminer les inconnues m, n,/), 9, les équatioDs suivantes :
Les égalités (B) donnent, par combinaison,
et, par suite,
' Nous avons donc
— mzzq, et — p=:n.
Les égalités (A) et (B) peuvent alors s'écrire,
m'+p'4- 1=0, mp{m + p):^o.
Les coefficients m et p sont différents de zéro, si, comme nous le sup* posons 6 ne désigne pas une droite parallèle au plan yoz, ou zox. On est fidnsi conduit aux rclationà incompatibles
m'-|-f''+ 1 =:o, et Wl +/>—=»•
3. Démontrer qu'il y a trois droites situées sur la surface qui a pour équation
xyz — ayz — bzx — cxy = o,
et qu'il ny en a pas davantage,
. 4. On considère la quadrique Q qui correspond à Véquation
xyzziz'—i,
■etf sur celte surface^ la droite G dont les équations sont
Tt ouver le lieu décrit par les normales menées à Q, par tous les points de G. On trouvera que le lieu est une surface du second degré ayant pour équation
{x — y—A){x-hy-i-z — ?i) = 6{y — 2).
S. Démontrer que si l'on considère un cylindre hyperbolique, le lieu de asymptotes des sections planes est un système de deux plans, chacun d'eux étant asymptote à la surface*
EXERCICES 161
On prendra l'équation du cylindre suus la forme
et Ton voit facilemeut que le lieu cherché est constitué par les plans qui ont pour équation, respectivement,
Pzzo, et Q — O.
O. Démontrer que la surface cubique qui correspond à V équation
(y •\' x){jjc — z)[x-\-z — 2y) z=za{y — z)*
admet un double système de génératrices rectilignes parallèles au plan qui a pour équation
On arrive rapidement au résultat en observant que réquation peut se mettre sous la forme
[x — yY {X'-hy)^(y " z)* (y-hx-^a).
K. Démontrer que le cône asymptote est le lieu des asymptotes des sections centrales.
De L. Tome lU. i i
PLANS DIAMÉTRAUX
1S&. Théorème. Le lieu des milieux des cordes A d'une quadrique Q, qui restent parallèles à une direction fixe^ est un plan; ce plan est nommé plan diamétral conjuguée des cordes A.
Soient
x — Xo y — Vo^z — Zo
les équations d'une des cordes considérées; a?o,yo»V désignant les coordonnées d'un point arbitrairement choisi sur elle; a, 6, y, étant des nombres fixes représentant les paramètres directeurs de la droite à laquelle ces cordes restent parallèles.
Cherchons Tintersection de A çt de Q ; et, à cet effet, considérons, comme nous Tavons fait précédemment, l'équation
(A) Aa?o,yo,^o)+p(< -+-6/; 4-ïr;)4-p>2(a,6,Y,)=o.
Si nous supposons <p, (a, 6, y) ?^ o, cette équation du second degré en p doit avoir ses racines égales et de signes contraires, si le point (a?o , yo , ^o) est le milieu de la corde A. Nous avons donc
<+v;-hY/^;=o,
ou, en rendant x^^y^^Zoy coordonnées courantes,
PLANS DIAMÉTRAUX 163
Cette équation représente bien un plan.
Nous poserons, pour abréger un peu récriture dans la discussion qui suit,
et nous écrirons, par conséquent, le plan diamétral sous la forme
(D') aU-f-6V + YW = o.
Nous nous réservons d'ailleurs d'examiner tout à l'heure le cas que nous avons réservé, celui où l'on a
c'est le cas où les cordes considérées ont, par rapport à la quadrique donnée, une direction singulière.
ISG. Théorème I. Dans les surfaces de la première classe, les plans diamétraux passent par un point fixe^ centre de la quadrique.
Cette propriété résulte visiblement de l'équation (D') ; car si les équations
U — o, Vzzio, Wizzo,
ont une solution, le plan qui correspond à (D') admet, lui aussi, cette solution.
1&9. Théorème II. Dans les surfaces de la seconde classcy tous les plans diamétraux sont parallèles à une droite fixe.
Il convient ici de distinguer deux cas : les plans du centre peuvent être parallèles à une même droite en formant une figure prismatique; ou bien, deux plans du centre peuvent être parallèles, le troisième étant sécant à ceux-ci.
Dans la première hypothèse, nous avons
XU + t^V-hvW + pSîo,
X, ii.,v, n'étant pas nuls simultanément. Soit v ;zf o ; Téquation (D') peut s'écrire :
V (aU + 6V) — Y (XU -+- I/.V4- p) = 0.
Cette équation représente un plan parallèle à la droite D, qui a pour équations
, Si nous supposons maintenant que les égalités
représentent deux plans parallèles, nous avons
et, à réquation
aU -h 6V + Y (>^' V 4- [i.') = o,
correspond un plan diamétral qui est encore parallèle à la droite D.
\* Théorème III. Bans les surfaces de la troisième classe, surfaces qui admettent une ligne de centres, les plans diamétraux passent par cette droite.
Dans le cas des surfaces de la troisième classe on a
XU+>V + vW=:o,
X, (X, V, n'étant pas nuls à la fois. Soit v ;zf o ; réquation du plan diamétral peut s'écrire.
v(aU+6V)— y(XU4-ixV)izo.
Le plan correspondant passe par la droite qui a pour équations
et cette droite n'est autre que la ligne des centres.
159. Théorème ÏV. Dans les surfaces de la quatrième classe tous les plans diamétraux sont parallèles à un plan fixe.
PLAxNS DIAMÉTRAUX 163
Les surfaces de la quatrième classe sont caractérisées par ce fa:t que les plans du centre sont parallèles, sans être confondus. On a donc
V=:XU-+-V, W =: ii.n 4- ix', et réqualion du plan diamétral peut s'écrire
Le plan correspondant est constamment parallèle à un plan fixe, dont Téquation est
IGO. Théorème T. Dans les surfaces de la cinquième classe les plans diamétraux coïncident avec un plan fixe.
Dans ce dernier cas, les plans du centre coïncident et Ton peut poser
VzsXlJ, WsixU; l'équation du plan diamétral est donc
Ainsi, ce plan coïncide avec le plan des centres qui correspond à l'équation.
loi. Directions singulières. Nous avons maintenant à examiner le cas où les paramètres a, 6, Y> de la direction donnée, vérifient Tégalité
Cherchons ce que représente, dans cette hypothèse, l'équation
La droite A qui, dans ce cas, a une direction asymptotique (§ i48), rencontre la quadrique Q,en un seul point à distance finie.
11 y a un autre point M commun à A et à Q, à distance finie^ quand on suppose
Mais si Ton a
le tenne en p de Péquation (A) étant nul, M s'est éloigné à rinfini et la droite A est située tout entière sur Q, ou la rencontre en deux points rejetés à Tinfini; suivant que f{^o yVoy^o) est uul, OU différent de zéro.
L'équation (D) représente donc un plan, que nous appellerons plan diamétral singulier pour marquer que son équation est celle du plan diamétral, dans le cas particulier où a, 6, Yi représentent les paramètres d'une direction singulière. Nous allons signaler les propriétés les plus saillantes de ce plan: mais nous ferons préalablement remarquer que, par sa définition même, il jouit de la propriété d'être le lieu géométrique des points tels que si par Vun d'eux on mène une parallèle à la direction singulièi^e correspondante y cette droite rencontre la quadrique de deux points rejetés à Vinflni^ si elle n'est pas située tout entière sur la surface,
169. Plan diamétral singulier. (Première propriété.) Le plan diamétral singulier est parallèle à la direction singulière qui lui correspond.
Vérifions d'abord cette propriété par l'analyse.
L'équation du plan diamétral singulier est
X (Aa -h B"e -h B'y) -4- y (B"a -+- A'6 4- By) -f- ^ (B'a -4- B6 -f- A"y)
+ Ca-hG'6-fC"Y = o, ou
Mais on a (Th. d'Euler;.^/^., § 3o5)
2ç (a, 6, y) 3: aç^ + 6(p^ + y^^ ; et cette identité prouve la propriété énoncée.
PLANS DIAMÉTRAUX 167
La démonstration de ce théorème résulte encore des considérations géométriques suivantes.
Soit A une droite parallèle à la direction singulière considérée, et soit P le plan diamétral correspondant. Prenons sur P un point M et menons par M une droite A' parallèle à A : A' rencontre la quadrique en deux points rejetés à Tinfini; ou bien, est située sur elle, tout entière. Cette remarque étant faite, considérons sur A' un autre point M' et menons
Fig. 22.
par M' un parallèle à la direction singulière A ; nous obtenons la droite A' elle-même. Ainsi, le point M' jouit de la, propriété qui est caractéristique des points situés dans le plan P : une parallèle menée par M' à la direction singulière A rencontre la quadrique en deux points rejetés à Tinfini bu est placée sur elle, tout entière. La droite A' est donc située dans le plan P et Ton peut dire que P est parallèle à A.
1G3. (Deuxième propriété.) La section faite dans une quadriqtie par un plan diamétral singulier est, en général, un système de deux droites, parallèles à la direction singulière correspondante.
Imaginons, en effet, cette section et soit Mo un point pris sur elle. Si par Mo on mène une parallèle Ao à la direction singulière considérée, l'équation en p (§ i55) est vérifiée identiquement ; la parallèle A est donc située sur la surface.
Mais nous savons que cette droite est dans le plan diamétral, elle fait donc partie de la courbe cherchée. Celle-ci étant du second ordre, elle ne peut' être formée que par un système
16$ TREIZrÈME LEÇON
de deux droites dont Tune est Ao ; nous désignerons la seconde par Aj et il nous reste à montrer que Aj, est rejeté à rinfini, ou est parallèle à Ao.
En effet si A,, n'était pas parallèle à A^, en prenant sur A,, un point M,, et en menant par Mj une parallèle à la direction singulière Ao, la droite ainsi obtenue serait située tout entière sur la surface, ce qui n'est pas possible si le plan diamétral ne fait pas partie de la surface, singularité qui ne peut évidemment se présenter que dans le cas où la quadrique proposée est formée par deux plans.
1G4. Cette propriété des plans diamétraux singuliers permet de voir comment, par un certain côté, ces plans se rattachent aux plans diamétraux ordinaires.
Fig. 23.
Soit P un plan diamétral singulier, et soient A et B les deux droites représentant Tintersection de P avec la quadrique proposée Q. Si nous prenons sur P un point M et si, par ce point, nous menons une parallèle à la direction singulière qui correspond à P : 1** Cette droite est tout entière située dans P ; 2** elle rencontre Q en deux points rejetés à rinfini. En considérant A' comme une corde dont la longueur, est infinie, le point M peut être envisagé comme étant le milieu de cette corde. Lorsque M est pris sur A, ou sur B; en choisissant, de part et d'autre, sur ces droites, deux points équidistants, on peut encore dire que M est le milieu d'une corde dont les extrémités appartiennent à la quadrique et c'est ainsi qu'on peut s'expliquer comment la recherche des plans diamétraux ordinaires conduit à la découverte des plans diamétraux singuliers.
PLANS DIAMÉTRAUX 169
Mous allons maintenant entrer dans des détails plus circonstanciés sur le plan diamétral singulier, en le considérant successivement dans les différentes classes de quadriques.
Cette étude, par certains points, complétera celle que nous avons faite dans la leçon précédente, quand nous avons considéré le cône asymptote.
1G&. nrhéoréme I. Dans les quadriques de la première classe les plans diamétraux singuliers enveloppent un cône ayant pour sommet le centre de la surface; ce cône n'est autre que le cône asymptote qui^ V origine étant placée au centre de la surface, a pour équation
9{oc,y,z) = o.
Le plan dont nous cherchons l'enveloppe a pour équation
a, 6, Y, vérifiant l'égalité Nous avons donc (§ loa)
, V If ^ 'J
Si, par Torigine, nous menons une parallèle à la droite (a) ses équations sont
Ta? » y t^
"7 — "7 — "T' • Qt •6 -y
Ces relations du premier degré sont vérifiées par iczza, y zz6, z =:y\ elles représentent donc une droite joignant Torigine au point (a, 6, y) et, par^ conséquent, ayant pour équations
i70 TREIZIÈME LEÇON
Entre (i) et (3) si nous éliminons a, 6, y, nous avons
(4) ^{XyyyZ) = o,
Gomme le plan diamétral passe toujours par le centre de la quadrique, son enveloppe est bien un cône, ayant ce point pour sommet, cône égal à celui qui correspond à Téquation (4).
16G. Théorème II. Dans les surfaces de la seconde classCy les plans diamétraux singuliers se divisent en deux séries; les plans qui constituent chacune d'elles sont parallèles à un plan fixe; de plus, chaque plan diamétral singulier coupe la surface suivant deux droites dont Vune est rejetée à r infini.
Le déterminant A étant nul, 7 est une somme ou une différence de deux carrés; plaçons-nous dans cette seconde hypothèse, pour raisonner sur des éléments réels, et posons
? (^ » y > -2) =: {ax '\'ày-\' czf — (a'x -h h' y -f- c^zf :s:u* — v\ Nous avons donc
(1) ç (a,6,Y) =: (aa -f ô6 + c^y - (a'a+ô'ô+c'v)* = u'*—v'*= o et, par suite
- 9' r= au' — a'v'y - ?1 = bu' — b'v\ - ©' 1= eu' — c'v'.
L'équation du plan diamétral singulier peut s'écrire
x{au'^ a'v')+y(ôw'— 6't)')-f2;(cw'— cV)-+-Ca4-G'64-r/Y = o
ou
(2) u'u — v'v + Ca -+- C'6 ■+- C'y z= o.
Les nombres m' et v' sont, d'après (1), égaux et de même signe, ou égaux et de signes contraires ; de là les deux séries que nous avons distinguées. Supposons, pour fixer les idées, u'znv'. L'équation (2) prouve que le plan diamétral singulier est constamment parallèle au plan fixe qui correspond à réquation
u — vzz o.
PLANS DIAMÉTRAUX lit
Montrons maintenant que le plan diamétral singulier coupe la surface suivant une seule droite, à distance finie. A cet çffet, considérons les deux équations *
(3) w* — V* f- 2 Ca: + 2 C'y + a C^- + D = o ,
(4) Xi' («— 1>) + Ca -h C'6 + C'y n 0.
Ces égalités donnent, par combinaison, (5) (M + t))(Ca-t-G'64-CY) — w'(aCir + aC'y + aC''2 + D)r:o.
Les équations (4), (5) représentent deux plans qui donnent, pour l'intersection cherchée, une seule droite à distance finie.
1B9. Théorème III. Dans les surfaces de la troisième classe, les plans diamétraux singuliers sont deva: plans fixes; ils coupent la surface suivant deux droites rejetées à Vinflni.
Nous supposons, A et H étant nuls que la surface proposée est un cylindre elliptique ou hyperbolique. Nous prendrons cette dernière hypothèse pour mieux préciser et pour raisonner sur des coefficients réels.
Soit
f{x, y, z) — o, f{Xy y y z) =: {ax -h 6y + C2-+- d)* — (a'x^h'y-^ c'z + dj + /i s u*—v* + h
l'équation de la surface et représentons par a, P, y? les paramètres d'une direction singulière; ces nombres vérifient l'égalité
(aa -t- 66 + cy)' = (a'a -+- 6'6 + c'y)', nous supposerons, pour nous fixer, que
aa + 66 -+- CY = â^'a -+- ô'6-h c'y D'autre part, l'équation du plan diamétral
devient
a (au — a'v) -h 6 [bu — b'v) + y (^^ — c't))=: o ,
OU
u {ax -+- 66 4- cy) — V (a'a 4- fe'6 -f- c'i) = o,
ou, enfin,
D'ailleurs pourw=:u l'équation f:=^o, se réduit à A = 0, et comme A n'est pas nul (si, comme nous le supposons, la surface proposée n'est pas un système de plans) l'intersection est tout entière rejetée à l'infini, dans la direction des plans qui ont pour équation respectivement,
w = v, et ii:=L — V.
tes. Théorème WW.,Dans les surfaces de la quatrième classe les plans diamétraux singuliers sont rejetés à Vinflni.
La surface est un cylindre parabolique ; son équation peut êlre mise sous la forme
f{x,y,z) — o, f{^y y> ^) — {(^^ -f- ôy + c:3r + c?)" — 2 [a'x-k-h'y + c'z + d') = w" — av.
L'équation du plan diamétral est alors
(1) a (au — a') + 6 {hu — h') ■+- 7 {eu — c') zz o.
D'autre part, on a
? (^, Vy 2) =: {ax-hby -h czY
et si, comme nous le supposons, a, 6, 7, représentent les paramètres d'une direction singulière, nous avons
(2) aa-f-M-f-cy z:o
l'équation (1) devient donc
(3) a'<x-hb'i-hc'y = o.
Le plan diamétral singulier est donc rejeté à Finfini ; à moins que les paramètres a, 6, y, ne vérifient à la fois les équations (2) et (3), auquel cas le lieu cherché est indéterminé.
PLANS DIAMÉTRAUX 173
On explique cette singularité en remarquant que les génératrices du cylindre étant parallèles aux plans qui correspondent aux équations
u rz 0, y zi o,
la direction particulière qui est déterminée par les égalités (2) et (3) est précisément celle des génératrices ; et alors, soit que Ton prenne une génératrice elle-même, soit que Ton considère une parallèle à cette génératrice, tout point de la droite peut être envisagé comme étant le milieu d'une corde finie, ou infinie, du cylindre donné.
1G9. Théorème V. Dans les surfaces de la cinquième classe le plan diamétral singulier est indéterminé, L'équalion de la quadrique est, dans ce cas,
{ax -f- 6y -+- CZ'\' d)* — hzzi)
et celle du plan diamétral peut s'écrire
(aa -^bS-h ry) {ax -{-by + cz + d)z::zo.
Si a, 6, y, sont les paramètres d'une direction singulière, on a
aa -f- 66 -h CY :z: ;
l'équation du plan diamétral est donc indéterminée.
Cette indétermination s'explique d'ailleurs comme celle que nous avons discutée au paragraphe précédent.
1*90. Généralisation des surfaces diamétrales. Au
lieu de supposer que les cordes d'une surface restent parallèles à une direction fixe, on peut, pour généraliser le problème en question, admettre que ces droites passent constamment par un point fixe Mo (^0,^0,2:0,^0), ê>itué à dislance finie. Nous allons adopter cette hypothèse et chercher le lieu des milieux de ces cordes, dans les quadriques.
La transversale A qui est mobile et qui passe constamment par le point Mo rencontre la quadrique proposée Q, en
deux points M', M^ Désignons par [x^y^ Zyt) les cordonnées du point M' et par [x^^y^^z^^t^^ celles du point |ji.> milieu de M' M''. Nous avons
X ^ y ^ z ^ t X désignant le rapport ^rj^ . L'équation de Q étant
M Mo
f{x,y,z,t)=Lo, nous déterminons X par la relation
égalité qui peut s'écrire sous la forme suivante /'(^i,2/,,^,,04-A(a:o/';^ + yo/^^-hVl.^-l-//;j 'h^^*f{Xoyyo,Zo,to)zzo,
Cette équation en X a deux racines X' , X'' qui représentent les rapports
