MV MV

D'ailleurs le point [a étant le milieu de U'U% la sonime des inverses de ces rapports (remarque que nous avons déjà faite ((?. Plane. § 179) est égale à — 2.

Nous avons donc, d'après cette observation/

^A +y^l +^^s -^^A =2/^(^n2^i>^oO- *i «'i ^1 '1

D'autre part, l'identité d'Euler,

a?/l -4- y/' -^zr +^/; s2r{x,,y,,z,J,), ^1 ^1 *i 'i

permet d'écrire la relation trouvée sous la forme

{x,-Xo)r^ +{y,-yo)f[+{z,-z,)r^ =0.

PLANS DIAMETRAUX 175

En rendant (x, , y, , -^i , ^) coordonnées courantes, Téquation du lieu est, finalement,

Cette égalité représente une quadrique passant par le point Mo et par le centre de la quadrique proposée, quand elle possède un pareil point.

En observant que Ton a

ir=:lç;-hc, ir=:iç;+c', irsi^i^-c,

et

réquation obtenue peut s'écrire, encore,

U désignant une forme linéaire. Les équations des quadriques Q et Q' ont donc les mômes termes du second degré ou, si Ton préfère, les surfaces considérées ont le même cône asymptote.

191. Remarque. Si Ton imagine que le point Mo s'éloigne à rinfini, dans une direction donnée, direction correspondant aux paramètres directeurs a, 6, y» après avoir posé :

Xo ^0 ^0

réquation (Q') devient

En passant à la limite (en supposant p = »), on a Nous retrouvons ainsi réquation du plan diamétral.

EXERCICES

I. Vérifiei' que le lieu des milieux des cordés dune sphère^ lorsqu'elles passent par un point fixe, est une sphère.

8. On donne deux plans P et Q, et un point fixe Mq ; par Mo on mène une transversale mobile qui rencontre les pians donnés aux points Xet B: trouver le lieu décrit par le milieu de ÂB.

Soient P = o, Q =: o, les équatioDS des plans proposés ; on considère Téquation PQ=o et on lui applique la méthode que nous avons indiquée (§ 170).