CONJUGUÉS
ÂUft. Théorème. Lorsqu'on coupe une quadrique Q, par un plan P qui reste parallèle à un plan fixe, le lieu des centres des sections ainsi obtenues est une droite.
Soit
réquation du plan fixe donné, celle de P sera
X désignant un paramètre variable. Ce plan P coupe Q suivant une courbe F ; nous désignerons par C le centre de F, et par a?j , y^ , ^1 , ses coordonnées. Par le point C menons une transversale A, dans le plan P, et soient M' et M" les points où elle rencontre Q. Les coordonnées x, y, z, de M' peuvent se calculer par les formules :
Z=Zt -f cp,
a, by c, désignant les paramètres directeurs de A, et p la distance CM'.
L'équation de Q étant
f{x,y,z)zzo, DeL. TomkUI. »•*
on a, pour déterminer p, l'équation
Les racines p', p", de cette équation sont les longueurs C M' et CM'', et comme C est le milieu de M' M", on a donc
(1) af^ ^br +cr^ =0.
D'autre part, A étant parallèle au plan fixe, on peut écrire l'égalité :
(2) a(x-^M'\-c^'=zo.
Ceci posé, les paramètres a,6,Yj n'étant pas nuls à la fois, résolvons (2) par rapport à C et nous obtenons, par combinaison avec (0,
Cette relation doit être vérifiée, quelle que soit la direction de A dans le plan P ; par conséquent, quels que soient 6 et a ; nous avons donc
ou, sous une forme plus symétrique.
En considérant a?4, y i,;2r4, comme des coordonnées courantes, on voit que le lieu décrit par le point C est la droite qui correspond aux équations
1*93* Étude du diamètre dans les cinq classes.
On peut reproduire pour la droite (D) une étude qui offre
la plus grande analogie avec celle que nous avons faite plus haut pour les plans diamétraux, et chercher les particularités affectées par les diamètres dans les quadriques des différentes classes. Nous nous bornerons à énoncer des propriétés que Ton vérifiera sans peine.
i^ Bans les surfaces de la première classe tous les diamètres passent par le centre.
2° Dans les paraboloïdes tous les diamètres sont parallèles à une droite fixe,
3** Dans les cylindres à base elliptique ou hyperbolique, tous les diamètres sont confondus avec la ligne des centres.
4** Dans les cylindres paraboliques, les diamètres sont à Vinfini.
5** Dans les surfaces de la cinquième classe, qui sont constituées par deux plans parallèles, tous les diamètres sont situés dans le plan parallèle équidistant des plans donnés.
1 94. Généralisation des diamètres. Le lieu qui vient de nous occuper est susceptible d'une généralisation toute semblable à ceUe que nous avons faite, dans la précédente leçon, pour les plans diamétraux. Au lieu d'admettre que les plans mobiles que nous considérons restent parallèles à un plan fixe, c'est-à-dire passent par une droite de l'infini, nous allons supposer qu'ils renferment constamment une droite fixe A, située à distance finie, et nous chercherons encore le lieu décrit par les centres des sections ainsi obtenues.
Prenons sur A un point fixe M, (irj,^,,^,); le plan mobile qui passe par A, contient ce point M, et le centre de la seclion, point dont nous cherchons le lieu géométrique, a des coordonnées qui vérifient l'équation (§ 170)
Boit M, {x^,y^,z^ un second point de A; on a, de même, W {x--x,)fl-^{y-y,)r-h[Z'-z,)f^^z=Lo.
Les équations (i) et (2) donnent, par combinaison, (3) {X, - X,) fl 4- (y, - y,) r; -h {z, - z,) r, = o.
D'après cela, on peut dire que le lieu est la courbe, intersection du plan (3) avec la quadrique qui correspond à Tune des équations (i) ou (2). Ce lieu est donc une courbe du second ordre (§ 26).
l'afK. Remarque. Si les points M^ et M, s'éloignent à l'infini; le premier dans la direction («1,61,7,), l'autre dans la direction (a, , 62 , Ys), il est facile de reconnaître que les équations (1) et (2) représentent une droite, ayant pour équations
et Ton retombe ainsi sur le cas traité plus haut (§ 172).
1 ve. Droite et plan csonjasaésu On dit qu'une droite A et un plan P ont des directions conjuguées lorsque la droite A est parallèle au lieu des centres des sections faites par des plans parallèles à P ; ou bien, lorsque le plan P est parallèle au plan, lieu des milieux des cordes parallèles à A.
Nous allons montrer qu'il est indifférent d'adopter Tune ou l'autre de ces définitions.
Prenons d'abord la première définition et proposons-nous d'exprimer que la droite A dont les équations sont
est parallèle au diamètre A', lieu des centres des sections faites dans une quadrique par le plan qui correspond à l'équation
(P) o^'x + &'y-hYz = o,
Les équations de A' sont
f, ff f,
et celles d'une parallèle à A', menée par l'origine,
Les droites A et A' étant parallèles, ces équations représentent une droite qui n'est autre que A, et Ton peut dire qu'elles sont vérifiées par les coordonnées a, 6, y.
Les conditions cherchées sont donc :
Adoptons maintenant la seconde définition; le plan qui partage en deux parties égales les cordes parallèles à A a pour équation
L'équation ou la suivante
représente donc le plan P et Ton a
On retrouve bien les relations (i). Ainsi, Tidée d'un plan et d'une droite ayant des directions conjuguées correspond, indifféremment, à l'une ou à l'autre des deux définitions que nous avons données.
HHH. I^roites conjosuées. On dit que deux droites A, A', ont des directions conjuguées lorsque A est parallèle au plan P' qui partage en deux parties égales les cordes parallèles à A'; ou bien, lorsque A' est parallèle au plan P qui partage en deux parties égales les cordes parallèles à A.
Ici, encore, nous allons montrer que ces deux définitions rentrent Tune dans Tautre.
Soient * •
les équations des droites proposées. Le plan P' a pour équation
et Ton peut dire que Tégalité
représente un plan P", mené par l'origine, et parallèle à P\ Ce plan P" doit donc renfermer A, et Ton a
En adoptant la seconde définition, on eût trouvé
(i') a?'^; + 6^^,-hY?^, = o.
Les conditions (i) et (i') sont identiques, et ceci résulte, comme l'on sait, de l'identité
1 V8. Plans conjasués. On dit que deux plans P et P' ont des directions conjuguées, lorsque le plan P est parallèle au diamètre conjugué de P ; ou bien, lorsque P' est parallèle au diamètre conjugué de P.
Ces deux propriétés sont identiques.
Soient (P) (xx-^'iy-hyzzno, (F) a'a? -f- 6'y H- y'^ z: o, les équations des plans donnés. Les équations
représentent le diamètre A' conjugué de P' et si, par Tori-
gîne, on mène à cette droite une parallèle î', ses équations seront :
Q © ffi
/*/\ ^ Jy T*
— X désignant la valeur commune de ces rapports.
Donnons aux équations précédentes la forme explicite et nous avons
IAx-hWy + B':2; + a'X = 0, B'x-^ My 4- B2; + 6'X = o, B'x -4- By + M'z -I- y'^= »•
D'ailleurs, la droite 8' devant être située dans le plan P, nous avons aussi
(a) aa;+6y-hY2=o,
a?, y, 2r, représentant dans (i) et (a) les coordonnées d'un point de S'. Les relations (i)et (a) sont donc vérifiées par des valeurs des inconnues (x^y^z, X) qui ne sont pas toutes nulles, et la condition cherchée est
iS't
En observant que Ton peut interverlir les lignes en colonnes, on a
et cette remarque prouve que Ton peut adopter, indifférem ment, Tune ou Tautre des définitions que nous avons données pour exprimer que deux plans ont des directions conjuguées.
190. Théorème. Le plan tangent P, en un point M d'une quadrique, est conjugué du diamètre qui passe par ce point. Soient {Xo , !/o , Zo) les coordonnées de M ; l'équation de P- est
^C +< +zr: +tr,=o.
Le diamètre conjugué de ce plan correspond aux équations
yo
et celles-ci sont visiblement vérifiées par x=.x^, y z=: yo,
180. Diamètres conjugués. Lorsque deux droites ayant des directions conjuguées passent par le centre C de la quadrique, Tensemble de ces droites constitue un système de deux diamètres conjugués.
Si trois droiles partant du centre sont telles que deux quelconques d'entre elles forment un système de deux diamètres conjugués, nous dirons que les droites proposées forment un système triplement conjugué.
181. Théorème. Lorsqu'on coupe une quadrique par un plan P passant par le centre, deux diamètres conjugués de la section obtenue, forment un système de deux diamètres conjugués de la quadrique; et réciproquement.
Soit le centre de la quadriqae Q; la section obtenue par un plan P passant par est une courbe du second ordre et le point est évidemment le centre de cette section S. Soient OA et OB deux diamètres conjugués de S ; si, dans le plan P, nous menons une corde MN parallèle à OA, elle sera partagée par OB en deux parties égales. La droite OB
Fig. 24
est donc située dans le plan diamétral, conjugué des cordes parallèles à OA. Les droites OA et OB ayant, d'après cela, des directions conjuguées et passant par le centre de Q, sont deux diamètres conjugués de cette quadrique.
Des considérations géométriques analogues établissent la réciproque qui, comme la proposition directe, peut aussi se démontrer très simplement parTanalyse.
189. Théorème. Dans une quadrique à centre il y a une infinité de trièdres dont les arêtes forment un système triplement conjugué.
Coupons la surface Q par un plan P passant par le centre et soient OA et OB deux diamètres conjugués de cette section. Si nous considérons la droite OC qui est le diamètre conjugué des plans parallèles à P, cette droite OC est un diamètre conjugué de tous les diamètres de P et, en particulier,
de OA et de OB. Le système (OABC) est donc triplement conjugué.
Si Ton observe 1® que P est un plan arbitrairement choisi et assujetti seulement à passer par le centre ; 2** que OA et OB sont deux diamètres conjugués quelconques de la section ; on reconnaît qu'il existe une infinité de trièdres dont les arêtes forment un système de diamètres deux à deux conjugués.
La méthode que nous avons exposée plus haut(§ i35)et qui consiste à décomposer le premier membre de l'équation donnée en carrés et à prendre pour nouveaux plans de coordonnées ceux qui correspondent aux formes linéaires qui sont ainsi mises en évidence, donne des axes qui constituent, précisément, un système triplement conjugué. Nous avons vu en Algèbre que cette décomposition en carrés, avec des formes indépendantes, pouvait se faire d'une infinité de façons différentes, et cette remarque démontre encore le théorème en question.
