LES GOORDONNË£S.~ PREMIÈRES FORMULES

1. Déflnition des €MM»rdonnées eartésieniies. Ima* ginons trois droites XX', YY', ZZ', non situées dans un même plan, mais partant d'un certain point 0.

Nous prendrons ces droites pour axes de coordonnées^ et nous choisirons les semi-droites OX, OY, OZ, pour représenter les directions positives de ces axes.

Le point est V origine des coordonnées et les plans YOX, ZOY, XOZ, sont appelés |?tow« de coordonnées. Chacun d'eux, le plan YOX par exemple* sépare l'espace en deux régions ; la région positive, par rapport au plan YOX, est celle qui renferme la semi-droite OZ.

Db L. Tome 111. ^

Ces conventions étant faites, les coordonnées d'un point M sont bien déterminées, en grandeur et en signe ; c'est ce que nous allons montrer d'abord.

Si, par le point M, on mène une droite parallèle à ZZ', jusqu'à ce qu'elle rencontre le plan XOY, le segment MC ainsi obtenu représente la valeur de la coordonnée z du point M ; cette valeur est positive ou négative suivant que le segment MG est placé dans la région positive ou négative du plan YOX.

Dans' ces conditions, à un point M correspondent trois coordonnées :

bien déterminées.

Réciproquement si Ton donne les trois nombres a;', ^',2;\ il leur correspond un 'point bien déterminé de position, dans l'espace.

Fig. 1.

Prenons en effet OD=:a?'et par le point D, menons un plan DBMC parallèle au plan YOZ ; tout point de ce plan a une coordonnée a?, égale à d ; et, réciproquement, tout point de l'espace qui a une coordonnée x égale à x\ est situé dans ce plan.

Nous pouvons conclure de cette remarque, appliquée successivement aux valeurs données x\ y\ z\ que le point M, obtenu par l'intersection du plan BCDM et des plans analogues ACEM, ABFM> est un point ayant pour coordonnées x^ ^ y' y z' ; de plus, il n'y a pas d'autre point jouissant de cette

propriété. La position du point qui correspond à des coordonnées est donc toujours bien déterminée.

Lorsque chacun des axes est perpendiculaire sur les deux autres, on dit que le système considéré est rectangulaire. 11 est dit oblique dans les autres cas. Nous ferons pourtant observer que dans certaines questions, on peut envisager des systèmes mixtes^ et il y en a de deux espèces.

Il peut arriver que YOX soit différent de - et que OZ soit

perpendiculaire sur le plan YOX. C'est un premier exemple de système mixte.

Le second exemple est fourni par des axes dans lesquels l'angle YOX est droit, tandis que OZ est oblique sur OX et sur OY.

Il existe beaucoup d'autres moyens de représenter un point dans l'espace, mais le système que nous venons de définir, et Qui a été imaginé par DescarteSy est le seul dont nous ferons usage, dans ce cours.

Pour différencier les trois coordonnées x^y^z, et pour donner au langage plus de clarté, nous conserverons aux lettres x^y la dénomination d'abaissé et d'ordonnée que nous leur avons appliquée dans la géométrie analytique plane ; nous désignerons par le mot cote la troisième coordonnée J.

^, OéAnition g;énérale des surfaces. La notion de la surface plane est une idée élémentaire et sur laquelle nous n'avons pas à revenir ici ; mais nous devons définir, avant d'aller plus loin, les autres surfaces.

Nous appellerons surface la figure U engendrée par mie courbe plane V, mobile dans V espace, et dont le mouvement continu est tellement réglé que si l'on cherche les points communs à la figure U, et à un plan V qu'on peut supposer mo* bile, la section obtenue est une courbe bien déterminée.

Par exemple, lorsque V est une ligne droite on obtient les surfaces réglées ; si la ligne droite passe constamment par un point fixe Sj son mouvement élànt réglé pat* la condi^

tion que la droite mobile s*appuie constammenl sur une courbe fixe, on a les surfaces coniques; puis, comme cas particulier, les surfaces cylindriques^ en supposant le point S rejeté à Tinfini.

3. Théorème. Lorsqu'un point M est mobile sur une surface y les coordonnées vérifient constamment une certaine relation F (x, y, z) zz o, qu'on appelle équation de la surface.

Fig. 2.

y En effet, soit U la surface proposée, considérons la section faite dans U par un plan P, parallèle à YOX, et de cote OC = A. La courbe qui est dans le plan P est bien déterminée ; elle se projette en vraie grandeur sur le plan XOY et, rapportée aux axes OX,OY, a pour équation f{Xyy):=io. U faut donc qu'il existe entre x, y, et z, une certaine relation

Si réquation (i) ne renfermait pas la lettre Zy on aurait F s: f{Xy y). Dans ce cas, la surface est telle que tout plan parallèle à XOY la coupe suivant une courbe V égale à la courbe V ' qui, dans le plan XOY, correspond à l'équation f(x,y) = 0. En transportant V, parallèlement au plan YOX, à une cote quelconque, on réalise une génération de la surface considérée, génération qui prouve que cette surface appartient à l'espèce des surfaces cylindriques.

La réciproque est vraie : si un point M a des coordonnées x,y,z, qui vérifient constamment la relation

(i) F{x,y,z)zzo,

le point M est mobile sur une surface.

En effet considérons la courbe V située dans le plan correspondant à réquation z-=.hy et qui, projetée sur le plan XOY, a pour équation

(a) F {Xyy.h) = o.

Cette courbe V est mobile, quand h varie ; ainsi, à toute solution de Téquation (i), correspond un point M qui appartient à une des courbes V ; et réciproquement. Le lieu des points M, points dont les coordonnées constituent une solution de l'équation (i), est donc une surface.

On remarquera que nous supposons, dans le raisonnement précédent, que la courbe V qui correspond à Féquation (a) représente une véritable courbe, au moins pour certaines valeurs de A, en nombre infini.

41. Théorème. Si F {x^y^z) désigne une forme homogène par rapport atuc lettres x, y, Zy Véquation

représente une surface conique.

Considérons les deux équations :

la première représente un plan P, la seconde un cylindre C. Soit V la courbe commune à ces deux surfaces et soit M un point pris sur V ; les coordonnées (a?', y\ h) de ce point, vérifient l'équation (1). Prenons maintenant sur la droite OM un point quelconque M' et soient {y\y\z") ses coordonnées. Nous avons

et, par conséquent,

F {tx\ ty\ tz") zz 0,

ou> en observant que F est une forme homogène,

Ainsi le point M' et, par suite, tous les points de OM sont situés sur la surface considérée. Celle-ci peut donc être considérée comme une surface engendrée par le mouvement d'une droite, pivotant autour d'un point fixe, en s'appuyant, constamment, sur une courbe V, donnée de position ; c'est une surface conique.

&. Théorème. Dans une équation

si F désigne la forme entière la plus générale du degré m, le nombre X^ des termes est égal à

(m-hi)(?n-^2)(m-h3 )

Rendons l'équation (i) homogène, en remplaçant les lettres

* ^ y z ^ Xf y y z, respectivement par -- , ^ , - , et posons

rF(j,^,fj^<f(x,y,z,t).

La forme <p est homogène, et du degré m, par rapport aux lettres x, y, z^ t ; un terme quelôon((ue de cette forme peut se réprésenter par

et il y a autant de ces termes que l'on peut faire de combinaisons à répétition avec quatre lettres groupées m km. Nous avons donc {Alg. § 27 et 28),

et, par conséquent,

LES COORDONNÉES "î

B, En particulier, dans les surfaces du second ordre (*), le nombre des termes est égal à lo.

Le nombre des conditions qui déterminent une surface de Tordre m est X^— i ; pour une quadrique il faut neuf conditions. On vérifie d'ailleurs directement ce résultat en observant que réqualion la plus générale de ces surfaces peut s'écrire sous la forme

(p^ désignant, comme d'habitude> une forme homogène du

degré K par rapport aux lettres a?, y, z. Nous représenterons réqualion générale des quadriques par la notation suivante :

9. Définition de la courbe jçauehe. Lorsqu'un point M, mobile, se trouve constamment situé sur deux surfaces fixes U et V ; si, dans ses positions successives, il ne reste pas toujours dans le même plan, on dit que le lieu décrit par ce point est une courbe gauche.

En désignant par or, y, 2:, les coordonnées de M, ces quantités variables vérifient constamment les équations des surfaces U et V :

et nous dirons que ces équations sont celles de la courbe gauche.

Les courbes planes que nous connaissons déjà peuvent être considérées comme formant un cas particulier des courbes gauches ; il suffit de supposer que les coordonnées {x,y,z) vérifient constamment, outre l'équation ^ := 0, une équation du premier degré en a?, y, z^ équation à laquelle, comme nous le verrons bientôt, correspond un plan.