L ^ 1 ZZ

Les égalités (H) et (K) conduisent, par une transformation algébrique, à d'autres relations qui, en raison de leur grande simplicité, doivent être connues.

Prenons les formules de transformation suivantes :

. rti! .

"^ YW

Les formules (H) et (K) s'écrivent alors :

^u^m ^ ^n^m ^ JJ'Z'" =: , ' X''* + Y"* + Z"' = 1 ,

Si Ton compare ces égalités avec les relations (a) et (6) trouvées précédemment {§ 21), on en déduit les relations

suivantes, analogues aux égalités («') et (6') du paragraphe cité,

En revenant à la notation primitive, nous avons

x'' + x"* -h af"* = a'\ x'y' -h x"y" -h ^r'^'j/'^' =: o,

y'* 4- y''« + 2/'''« rr 6'S y'z' H- 2/ V -h y''';2"' n o,

Telles sont les relations que nous avions en vue ; elles conduisent à des conséquences diverses et intéressantes parmi lesquelles nous signalerons la démonstration des théorèmes d'Apollonius. Mais nous reviendrons plus loin (Leç. 22) sur cette application.

EXERCICES

t. Démontrer que les plans tangents en trois points conjugués se coupent en un point dont le lieu géométrique est une quadrique. L'équation de la quadrique donnée étant

les équations suivantes

xx' yy' zz' xx" yy" zz" xx"[ yy^" zz"'

représentent les trois plans tangents considérés. On voit d'ailleurs, en considérant le parallélipipède constmit avec les trois diamètres conjugués, que

x' -h x" -{-x'" zzx, 2/' + y" + y"' = 2/> 2' -h z" -h z"' =z z ;

EXERCICES 189

x, y, Zf désigpant les coordonnées du point dont oo cherche le lieu géomé. trique. L'équation de ce lieu est donc

8. Trouver la condition que doivent remplir les coefficients *M, N, P, pour que Véquation

représente un plan passant par trois points conjugués de la quadrique qui correspond à Véquation

On trouvera la relation

S. Trouver V enveloppe des plans qui passent par trois points conjugués,

4. Démontrer que le lieu des centres des sections faites dans une quadrique par les plans qui passent par trois points conjugués de cette surface a pour équation