Théorème I. Les racines de Véquation en H sont réelles

Supposons en effet que Téquation

admette une racine imaginaire a-^-P^; la forme quadratique ^^ (j^ = ç — (a -h Pi) (a?*-l" 2/*+ 2*+ 2^-3- cos X+ 25;ji; cos 11. + 2iry cos v) ,

ayant son discriminant nul, est décomposable en deux carrés et, en désignant par A, B, A', B', des formes linéaires des lettres x^ y, z, on peut poser

^ =: ( A -j" A'O"- +- (B -+■ B'if.

En égalant, dans les deux membres, les coefficients de i, on obtient le résultat suivant :

(i) — P {x*'\-y*-^z'-\-iyz cos X -f- izx cos [i. -+■ 'ixy cos v) s: 2 (AA'-|- BB').

1. On peut imaginer des équations en S d'un degré quelconque, et la plupart des propriétés que nous allons établir, conviennent à toutes ces équations. Cette élude générale a été faite par M. Walecki [Nouvelles annales, 1882 ; p. 4oi et 556) mais nous pensons devoir nous borner ici à celle de Téquation du troisième degré qui doit; seule, uous intéresser dans ce cours.

Si rpn considère maintenant les égalités

Azzo, B=:o,

elles représentent deux équations, linéaires et homogènes en ^, y, z; elles admettent donc une infinité de solutions non nulles. Imaginons Tune d'elles {x', y\z'); et soit M' le point qui correspond à ces coordonnées; comme nous avons.

OM =: x'* -h y'* H- z'* -+- 2y'^' cosX -[- 22V cos [jl -h 'ix'y' cos a, la relation (4) devient

— POM'^zho;

par conséquent P est nul(*).

18B. Théorème 11. Deux racines distinctes de Véqxiation en H donnent deux décompositions d'espèces différentes (*).

Soient »' et %" deux racines distinctes de Téquation en u\ on a

(,) ç fi^'y— eP*+£'Q« (£—±1, l' = ±i)

et il faut montrer qu'on ne peut pas avoir

(2) ç— «"o^sir-^e'r En elïet ces deux égalités donnent :

(3) {%' — %') « s £ (R« — F*) -+. £' (T* — Q'). Considérons les deux équations

R-+-P = o, T-+-Qr:o; elles sont linéaires et homogènes par rapport aux lettres

1. Cette démoDstratioo est due à M. Walecki ; voyez Nouvelles annales, loQ., cit.

2. On dit que deux décompositions sont de même espèce lorsqu'elles renferment le même nombre de carrés affectés du signe -j") ^^ le même nombre de carrés affectés du signe —. Cette .dénomination ^est due à M. H ermite.

DsL.ToMBm. i3

a?, y, z; elles admettent doac une infinité de solutions non nulles. Pour chacune d'elles, le second membre de (3) s'annule, mais le premier membre prend une valeur différente de zéro ; si, comme nous le supposons, les racines s' et s'' sont distinctes. Les identités (i) et '(2) sont donc incompatibles.

Nous allons d'ailleurs préciser la propriété que nous venons d'établir, en montrant quelle est l'espèce de décomposition qui appartient à chacune des racines de Téquation en s.

189. Vhéoréme m* La plus petite racine de Véquation en % donne deux carrés précédés du signe -+■(*); la plus grande^ deux carrés affectés du signe — ; enfln^ la racine moyenne donne une différence de deux carrés.

Désignons par s' %" %"' les trois racines de l'équation 8(8)z=:o; à chacune d'elles correspond une décomposition de la forme quadratique <p — sy, en deux carrés ; et ces trois décompositions étant d'espèces différentes, nous devons trouver : ou deux carrés positifs, ou deux carrés de signes contraires, ou enfin deux carrés négatifs. Posons donc •

Les deux premières donnent

Considérons les solutions non nulles (lesquelles sont en nombre infini) de l'équation P^ iz 0; le premier membre a un signe constant, celui de s" — »'; d'ailleurs, le second membre est évidemment positif, pour toutes les solutions que nous considérons ; nous avons donc

1. On dit aussi, par abréviation, carrés positifs; de même, l'expression carrés négatifs est employée pour exprimer des carrés précédés du sigoe — .

Xzi:

Le même raisonnement appliqué à Fidentilé :

(»"-»'') v^Vl-h ?l -h Ql - Qî, prouve que »'''— s'' est positif. En résumé, nous avons :

et la proposition énoncée se trouve établie.

Nous allons maintenant nous occuper, plus particulièrement, de réquation A(s):=i:o.

188. Théorème ÏÏW, Lorsque réquation A(i^) = o, admet une racine double, tous les mineurs du second ordre du déterminant A(») sont nuls.

Cette condition est nécessaire et suffisante.

Le déterminant A (s) est symétrique ; il possède donc seulement six mineurs du second ordre ; trois mineurs principaux (*).

et trois mineurs, non principaux,

On a, d'ailleurs,

(i) -A'(à)iz:X-hX' + X^

Si le nombre »' annule : 1" A(»), 2® tous ses mineurs ; »' est racine de A(s) et de sa dérivée ; S' est donc une racine multiple de l'équation A(») = o.

Pour établir la réciproque, considérons le déterminant D, déterminant adjoint de A(s),

I. Nous tappelons que les mineurs principaux sont ceux que Ton obtient en supprimant dans le déterminant proposé un même nombre de lignes et de colonnes affectées des mêmes indices {Alg,,"^, 65a).,

Nous savons [Alg., p. 656) que tous les mineurs de D sont nuls, si A (») = o. Nous avons donc

(2) XX' - 6"* zz , X'X'' - ê* = , \"\ - ê'* zz .

Ces égalités prouvent que les mineurs X, X', X" ont le même signe; et si nous supposons A' (») = o, l'égalité (1) donne

et, par suite,

Xzzo, X' = o, \"z=z{).

Les relations (2) donnent alors

6 = 0, 6' = o, 6"zi:o;

ainsi, les six mineurs du second ordre sont nuls.

18». Remarque I. Lorsque Téquation en » a une racine double, si les coefficients B, B', B" sont différents de zéro, les nombres de Jacobi (§ 122) sont égaux, et leur valeur commune représente la racine double.

Si Ton suppose, au contraire, que l-un des coefficients B, B', ou B'', soit nul ; on voit (les mineurs 6, 6', 6", étant nuls) qu'un autre de ces coefficients doit être nul. En supposant B' = B'' =: o, la racine double est égale à A, et les six relations

se réduisent à la suivante