B*=(A-A0(A-AO
âOO. Remarque II. Lorsque l'équation en S admet une racine double »', la forme
est un carré parfait.
En effet, tous les mineurs du second ordre du discriminant
qui correspond à cette forme quadratique sont nuls ; cette circonstance- prouve que celle-ci est un carré parfait. {Alg,y § 353.)
191 . Théorème. L'équation A (s) = o, n'a jamais trois racines nulles.
En développant le déterminant A (s) nous mettons l'équation en s sous la forme :
(6) «'-(AH-A'+A'')«'+(AA'4-AA''-f-A'A"— B'-B'*— B"»)« — (AA'A'' -h 2BB'B" — AB* — A'B" — A"B"*) =: o.
ou,
en posant
J =: AA' -f- AA'' + A'A" — B' - B'' — W\
Dans réquation (6), A a d'ailleurs sa signification ordinaire; il représente le discriminant de la forme <p.
Si l'équation en % avait ses trois racines nulles, on aurait, entre autres conséquences,
1=0, et J = o; et, par suite,
ou
Mais alors <p serait identiquement nul, ce que nous ne supposons pas.
199. Théorème. Lorsque V équation A (s) = o a trois '^acines égales^ on a
A=A' = A", et B = B'=B''=:o.
Ces conditions sont nécessaires et suffisantes.
Les conditions énoncées sont évidemment suffisantes; car, en les supposant vérifiées, l'équation en S s'écrit
mais il faut montrer, ce qui est un point plus délicat, qu'elles sont nécessaires.
On a, en effet,
Nous avons vu d'ailleurs (§ 188) que l'équation en m ne pouvait avoir une racine double, et, à fortiori, une racine triple, que si les égalités (2) (§ 188), étaient vérifiées. Ces relations prouvent que les nombres (A — s) (A' — s), (A" — s), ont le même signe ; leur somme ne peut être égale à zéro, que si chacune de ces quantités est nulle.
D'ailleurs, si l'on a
on a aussi, d'après les égalités (2),
'Ïï99bis. Mais on peut trouver, plus directement, ces r dilations en raisonnant comme nous allons le faire. Soient a là racine triple, nous aurons alors {Alg,, § 873)
I = 3a, et J = 3a*.
Éliminons a entre ces deux égalités, nous obtenons
^ r^3J=io,.
ou A«^A''4-A"* — AA' — AA'' — A'A" + 3B'-h3B'*-h3B"*z=:o,
ou encore
Cette égalité entraîne les suivantes :
ft93. Séparation des racines. — (Méthode de Ja- <»obi). Lorsque les coefficients B, B', B'', sont différents de zéro, les mineurs (non principaux) égalés à zéro donnent pour M , trois nombres qui séparent deux racines de V équation A(s)zz:o.
Les nombres que nous allons considérer, nombres que nous avons déjà rencontrés (§122 et 189), et que nous avons nommés nombres de Jacobiy sont
, B'B" ,., BB'' , , BB'
En introduisant ces nombres dans l'équation en S, celle-ci s'écrit,
B'B^ / , BB"^ / . BB' . ^^g,^„
, ^ f I B B \ / ' BB"\ / , , BB'\ ,
+B-(«-a + ^) + B'-(»-«'-Hf^')+B'"(s-«"-f-^')=o,
ou, après réduction,
BB'B- i (»-»'H«-°u "-';>,!»-'' + "->'«-'•> ! =..
Telle est la forme remarquable affectée par Téquation en i, quand on effectue la transformation indiquée par Jacobi. On déduit de l'équation précédente :
A ( a ) = BB'B" ^ =^5 \
A(a')=BB'B" ^^'~°'^y~'"l A («") = BB'B"lî-r *)(*"-*')
Ces relations donnent lieu aux remarques suivantes. 1° Dans le cas général, en supposant
a < a < a", et BB'B" > o ;
on a
Il y a donc tme racine entre a et a' ; une autre entre a' et a"- Quant à la troisième, elle est comprise entre a" et -+- « . Cette conclusion subsiste quand B B' B" est négatif, il faut seulement observer que la troisième racine, au lieu d'appartenir à Tintervalle (a% + oo ) est alors située dans l'intervalle ( — qo , a).
2° Si deux des nombres de Jacobi sont égaux, si Ton a a z= a', Tune des racines de l'équation en s est justement égale à cette valeur commune. C'est un cas particulier remarquable, réquation en s étant alors, décomposable en deux facteurs rationnels.
D'ailleurs, la suite
sépare encore les deux autres racines.
3° Si les trois nombres de Jacobi sont égaux, l'équation en S admet une racine double et s'écrit
(S «). j s « BB'B" (p + ^.+^) {= 0.
On observera que la discussion précédente prouve que, dans le cas général, les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation en s ait une racine double sont :
résultat que nous avons trouvé déjà, par une voie différente.
