Examen du cas parÉicnlier où l'on suppose

BB'B'' = o. La méthode de Jacobi est en défaut dans le cas où le produit B B'B'' est nul; mais il est facile de séparer les racines de l'équation en s, dans cette hypothèse particulière.

Supposons d'abord que nous ayons

B"z=o, et BB';zfo;

réqualion en S s'écrit alors

Si la diflférence A — A' n'est pas nulle et si, pour fixer les idées on suppose A<A', l'équation précédente a ses trois racines réelles et séparées par la suite.

— 00, A, A', -hoc.

Si, au contraire, on a A = A'; le nombre A vérifie l'équation en m et les deux autres racines sont données par Téquation

Ces racines sont séparées par la suite

(i) —00, A' ou A", et + 00.

Admettons maintenant que B' et B" soient nuls, simultanément B; étant différent de zéro.

L'équation en S devient

Ainsi A est encore une racine de l'équation et, comme dans le cas précédent, les deux autres racines sont séparées par la suite d).

Enfin si Ton a

les trois racines sont: A, A' et A''.

lOS. Séparation des racines. — (Méthode de Cau-

ehY.)Si Von considère un des mineurs principaux de A (s}, ce mineur égalé à zéro admet toujours deux racines réelles a, 6, (a < 6) ; et la suite :

— 00, a, 6, -f- 00, sépare les racines de Véqvxition en S.

202 QU(NZIÈME LEÇON

L'équation en s peut s'écrire

(i) A (m) = (A - s) { (A' - m) (A" - s) - B* } + qBB'B''

Considérons l'équation

équation qui a ses racines réelles distinctes. En effet, elles sont séparées par la suite :

— 00, A' ou A', et-f-00,

et elles ne peuvent être égales que si la différence A' — A" est nulle et si, en outre, chacune d'elles a la valeur A'. On doit donc avoir B = 0, et Ton retombe dans l'un des cas particuliers que nous avons examinés tout à l'heure.

Supposons donc que les racines a, 6, (a <6), de l'équation (2), soient distinctes.

Nous avons

A (a) = 2BB'B" — (A' — a) B'" — (A" — a) B'^

OU en multipliant par A' — a, quantité différente de zéro,

— (A' — a) A (a) = (A' — a)* B''— 2 (A' — a) BB'B"

D'autre part, a étant une racine de Tèquation (2), cette relation peut s'écrire

fft

— (A' — a) A (a) = (A' — a)* B'* + 2 ( A' - a) BB'B" -f- B'B

— (A' — a)A{a)= { (A' — a) B' — BB^' \\

La racine a étant inférieure à A', cette égalité prouve que A (a) est négatif, ou nul. Un calcul semblable permet de véri-

fier que A (6) est positif, ou nul. Par conséquent, si les racines ne sont pas les nombres a et 6 eux-mêmes, à la suite :

— 00, a, 6, -h«), correspondent les signes :

La suite de Cauchy sépare donc les racines de l'équation en s. Nous ferons observer ici que la suite de Jacobi est préférable à celle de Cauchy pour les deux motifs suivants :

1® Dans la suite de Jacobi il y a deux intervalles bien limités;

2** Les nombres de Jacobi sont toujours commensurables quand les coefficients de l'équation proposée sont eux-mêmes de cette nature. ^

APPLICATIONS DE L'ÉQUATION EN SI. — PLANS PRINCIPAUX. — PLANS CYCLIQUES

19e. Déflnitions. Lorsque, dans une quadrique S, un diamètre A est conjugué^d'un plan P; si, en outre, A est perpendiculaire sur P, on dit que A est un axe et que P est un plan principal de S.

Les droites parallèles à A sont appelées Cardes prineipales de la quadrique. Nous allons montrer que la détermination de ces directiwis remarquables peut s'obtenir par la résolution de l'équation en s.