Détermination des directions principales

Soient X, [x, v, les cosinus directeurs d'une corde principale; le plan diamétral conjugué a pour équation

ou, en passant à la forme explicite et en ordonnant,

(P) a;(AX+BV+ B'v)+y(B"X+ AV-h Bv)+;2r(B'X4-Bix -f- A"v) -f CX + CV+C"v=:o.

Le plan P étant perpendiculaire sur la direction donnée, on a donc

AX-f-B V4-BW Ba + AV-f-Bv B^X-hBix-hA%

A [JL V

Si Ton adjoint à ces deux équations, la relation :

on obtient un système permettant de déterminer les inconnues X,iJi.,v. Mais le nombre et la nature des solutions se reconnaissent plus nettement en prenant une inconnue auxiliaire %y représentant la valeur commune des rapports (2). On a ainsi

(4) j B"X+(A'— «)ii.-hBv = o,

( B'X + Bi;.4-(A" — S)vzz:o.

Ces équations sont linéaires et homogènes; d'ailleurs, elles doivent être vérifiées par des valeurs de X, [x, v qui ne sont pas toutes nulles; on a donc

Dans ce calcul, S est une inconnue auxiliaire et il ne faut pas perdre de vue que Içs inconnues véritables, celles que Ton propose de déterminer, sont, en définitive, les nombres X, [A, V. De là, une discussion que nous allons développer.

198. Théorème. Bans une quadrique il y a toujours trois directions principales.

L'équation (5) qui détermine Finconnue auxiliaire n'est autre chose que l'équation en m dont l'étude nous a occupé dans la précédente leçon. Nous savons, entre autres choses, que ses racines sont toujours réelles ; nous les désignerons par «', m" et »'", et nous représenterons les cosinus des directions principales correspondantes, respectivement, par :

A,[X,V, A,[i.,V, A,li.,V.

Les équations (4) donnent

A li. V

BB" — B' (A' - S') ^ B'B" — B (A- »') (A— m') (A'— m') — B''*'

et chacun de ces rapports a pour valeur

les inconnues X',|jl',v| se trouvent donc déterminées. Il est vrai qu'il y a ambiguïté, relativement au signe; mais les deux solutions donnant des valeurs égales et de signes contraires, les deux points directeurs ainsi obtenus sont situés sur une droite passant par l'origine; il n'y a donc qu'une droite principale correspondant à la racine simple s'.

L'équation en s ayant ses trois racines réelles, il y a trois droites principales correspondantes.

199. Cas des surfaces de révolution. Lorsque les trois racines de Téquation en s sont distinctes, nous venons de montrer qu'il y avait trois séries de cordes principales, mais il nous reste à examiner le cas particulier où cette équation a des racines multiples.

Supposons d'abord que nous ayons:

/ = »% et »';zf

Nous allons montrer qu'il y a une infinité de cordes principales parallèles à un plan fixe ; ce cas est celui des quadrîques de révolution, qui ne sont pas des sphères. Nous distinguerons deux cas, suivant que le produit B B' B'^ est nul, ou différent de zéro.

i** Soit BB'B"7fo. En posant, comme nous l'avons déjà fait (§193),

^ B'B" , ., BB'' „ ^„ BB' les équations (4) s'écrivent