B'B" ^ B^'B BB' B B' B

Lorsque, dans le cas général (BB'B* -^ o), deux racines de l'équation en % sont égales, hypothèse que nous examinons, nous savons que (§ 1 93)

Les équations précédentes se réduisent donc à celle-ci :

et nous pouvons conclure de cette remaïque, qu'à la racine double correspondent une infinité de directions principales, lesquelles sont parallèles au plan fixe qui est représenté par réqualion

2* Supposons maintenant que Ton ait

BB'B" = o,

et que Téquation en S ait une racine double. Dans cette hypothèse, nous avons

et,

Les équations (4) donnent alors

(A' — A)ii + Bvzr:o, et B^x^- (A" — A) v:=o,

les directions principales sont donc, dans' ce cas, parallèles au plan qui correspond à Tune ou l'autre des équations :

(A' — A)y4-Bz = o, ou By-h (A'' — A) 2=0.

Le cas de la racine triple n'offre qu'un intérêt secondaire, la quadrique qui correspond à Téquation donnée étant une sphère. Nous ferons seulement remarquer que les équations (4) deviennent alors absolument indéterminées et qu'elles sont vérifiées quels que soient les nombres X, [x, v. La raison

géométrique de cette indéterminalion, signalée par Tanalyse, ressort manifestement de ce fait que toutes les droites de Tespace sont, pour une sphère, des directions principales.

ISOO. Étode du plan principal. Aune racine simple M\ de réquation en s, correspond un plan principal dont Téquation est

6u, sous la forme explicite,

X (AX'+ B V'+ B V) +- y (B'' X'+ A >'+' Bv') + z (B'\'+ Bix' + AV)

+CV+Gy + CV=:o.

Nous avons, d*ailleurs,

AX' + B'V' + B'v' = S'X' , B'T-f-AV + Bv' i=:«V, B'X' + Bja' + A'^v' = S'v' .

D'après cela, Téqualion du plan principal s'écrit :

(P') S' QJx -h v^'y + v'2) + GX' ^ C V/ H- GN' = o .

On peut tirer de là plusieurs conséquences.

1° Cette relation prouve qu'à une racine simple, et différente de zéro y de V équation en S, correspond toujours un plan principal, situé à distance finie; sa position est d'ailleurs bien déterminée. Cette remarque repose sur l'observation qu'à une racine simple de l'équation en s correspondent des valeurs bien déterminées pour les paramètres X', [jl', et v', qui ne peuvent pas être nuls à la fois.

2° On voit aussi qu'il y a toujours un plan principal à distance finie, puisque les trois racines de Téquation en s ne peuvent pas être nulles, simultanément.

3** Si S' est une racine double^ et différente de zéro, de Te- ^t/a^ion en S; les paramètres X', [jl', v', sont indéterminés et assujettis seulement à vérifier une relation linéaire et homogène. L'équation (P') peut donc s'écrire sous la forme

UX' + V|x' = o.

On voit ainsi qu'elle représente un plan mobile passant constamment par la droite fixe qui correspond aux équations

Uzno, V=:o.

4** Si s' est une racine triple (racihe nécessairement différente de zéro) les paramètres X', [a', v', vérifient seulement régalité

et Ton peut dira que tom les plans de r espace ont une direction principale relativement à la quadrique qui, dans cette hypothèse, représente une sphère (§ 192).

5" Si s' est une racine simple, et égale à zéro ; le plan principal correspondant est rejeté à l'infini, si Ton a

CV + CV-f CV;zfo; au contraire, si