PLANS CYCLIQUES
901. Déflnition. On nomme plan cycUqtief celui qui coupe une quadrique suivant un cercle. La détermination de ces plans est une conséquence immédiate de la connaissance des racines de l'équation en s ; c'est ce que nous allons montrer maintenant.
^OS^. Théorème. Si S' désigne une racine de Véquation en S, on a
et les équations
(2) U=:X, V=zp,,
représentent, quels que soient X et (x, des plans cycliques. En effet, nous avons
P désignant une forme linéaire des lettres a?, y et z. Nous pouvons do'nc écrire
(3) f^%'{x* + y'-\-z')^V^\iV.
Cherchons les solutions communes aux équations
/"zzio, et U = X.
L'idenlilé (3) prouve que nous pouvons substituer, à ce système, le suivant :
La première de ces équations représente une sphère, puisque P et V sont des formes linéaires; à Taulre, correspond un plan. Ainsi, tous les points communs à la quadrique donnée et au plan considéré, sont situés sur une circonférence.
Cette remarque s'applique aux plans qui correspondent à réqualion
quel que soit [l.
dO«l. Théorèuie. A la racine moyenne %\ de Véquation en Hy correspondent deux séries de plans cycliques réels.
En eflfet si nous supposons que les racines de Téquation en i^ soient inégales et que »'' désigne la racine moyenne, nous avons établi plus haut (§ 187) que cette racine donnait, pour la forme quadratique
une décomposition en deux carrés affectés de signes contraires. Les facteurs que nous avons appelés U et V, au paragraphe précédent, sont donc réels.
Aux deux autres racines de Téquation en S correspondent des décompositions en carrés affectés du même signe; les plans cycliques, donnés par Tidentité (1), sont alors imaginaires.
Lorsque l'équation en # a une racine double, à cette racine correspond pour la forme (A) un carré parfait; la quadrique est alors de révolution, et les deux séries de plans cycliques que nous venons de signaler ne forment plus qu'une seule et même série.
5S04I. Théorème. Lorsque deux cercles y, y'> sont situés
sur une ^uadrique Q et dans des plans non parallèles M et N, ils appartiennent à une même sphère. (Théorème de Hachette.)
Prenons pour axe OZ la droite A intersection des plans M et N et pour plan XOY un plan quelconque, mais perpendiculaire à A. Nous formons ainsi un système d'axes semi-rectangulaires et les cercles Y) Y> sont situés dans les plans ZOY, ZOX.
Cherchons Téquation générale des quadriques passant par
les cercles y, y'-
En faisant ^ := o, dans Téquation cherchée, on doit obtenir réquatlon du cercle y> et comme Fangle ZOX est droit, on voit que l'équation de la surface affecte la forme :
y {mx -^ ny -}- pz + B) -\- X* -{- z* -{- Ax -\- Cz -{- D =10.
D'autre part, en faisant icizio, on doit trouver l'équation du cercle y' dans le système YOZ ; il résulte de là que p est nul, et que n est égal à l'unité. L'équation cherchée est donc, finalement,
^* + 2/' + 2:" -4- Wicy -f. Aa? + By -h C^ -fD iz: 0.
Ceci posé, si l'on considère l'équation particulière obtenue en faisant «n =: 2 cos X,
a;* -h y* -f 2* + 2a?y cos X -j- Ao? + By -f- Cz -f- D = 0,
Cette équation, dans laquelle X désigne l'angle YOX, représente une sphère qui passe par les cercles y et y'. Ainsi, deux sections circulaires, non parallèles, d'une même quadrique, appartiennent à la même sphère.
560S. Théorème. Il n'existe pas sur une quadriqus trois plans cycliques réels formant un véritable trièdre; exception faite du cas oU cette quadrique est une sphère.
Supposons, un instant, qu'il y ait trois plans cycliques réels formant un véritable trièdre et prenons ce trièdre pour consli-
tuer les axes de coordonnées. Si nous désignons par X, i*, v les angles formés par ces axes, nous devons trouver
^* + y* -+- a^ry cos V 4. Aa: -4- By 4- 1^>
en faisant z:=. 0, dans Téquation de la quadrique considérée. Cette équation peut donc s'écrire
2 (oo? + Py -4- Y2 4- C)4- a?*+ y*+ 2xy cos v 4-Aar-|-By-+-D=o.
Cherchons maintenant la section par le plan ZOX ; l'équation de cette courbe est
2 ( «a? -t- Y^ 4- C) -h 0?" -4- Aa? -4- D = ,
et, puisque cette section est un cercle, on doit avoir
az=:2C0S|x, Y=t.
Enfin, en considérant la section par le plan ZOY, on voit aussi que
PzracosX.
En résumé, Téquation de la quadrique est
a?* 4- y* + j3* 4- 2yz cos X 4- 2^0? cos p. + 2xy cos v + Ao? + By + C^ + D=zo;
or, nous savons que la surface correspondante est une sphère.
90G. Théorème. Tous les plans cycliques situés sur une qtiadrique sont donnés par la méthode indiquée plus haut (§ 2o3); méthode qui repose sur la connaissance de la racine moyenne de V équation en S .
En effet, imaginons un cercle F situé sur une quadrique Q ; considérons en même temps deux cercles y» ï'> obtenus par la méthode citée et appartenant à deux systèmes différents. Si r n'était pas situé dans un plan parallèle à celui de y> ou à celui de y' ; si, en d'autres termes, F n'appartenait pas à l'un ou à l'autre des systèmes que nous avons trouvés plus haut, il y aurait sur Q trois cercles réels appartenant à des
plans formant un véritable trièdre, et nous venons de reconnaître que cette hypothèse n*était pas admissible, si Q ne représentait pas une sphère.
$60*9. Théorème. Dans les quadriques de révolution, il n'y a qu'un système de plans cycliques ; ce système étant constitué par des plans perpendiculaires à l'axe de la surface.
Ily a sur cette quadrique des sections circulaires, à savoir celles que l'on obtient en coupant la surface par des plans perpendiculaires à son axe ; nous voulons montrer qu'il n'y en a pas d'autres. .
Imaginons en effet une section circulaire quelconque et prenons son plan, pour planXOY. La quadrique étant de révolution son équatioQ peut se mettre sous la forme
(Q) ^ + {ax + by + czy = o,
S représentant le premier membre de l'équation d'une sphère. En faisant zzizo, on doit trouver Téquation d'un cercle ; les axes étant rectangulaires, on voit alors que le produit ab est nul ; soit a mo. L'équation (Q) devient :
^ + {by + czy = o. ^ .
Faisons de nouveau zzno; les coefficients de a;* et de y' devant être égaux, on voit encore que b est nul et l'équation de (Q) s'écrit enfin
Le plan cyclique imaginé a donc pour équaljon 2; = o, il est perpendiculaire à Taxe de la quadrique ; il n'y a donc qu'une série de plans cycliques, plans perpendiculaires à l'axe de la surface,
908. Réciproquement. S'il n'existe dans une quadrique donnée qu'une seule direction de plans cycliques, la surface considérée est de révolution.
En effet, soit s" la racine moyenne de l'équation en S qui correspond à l'équation de la quadrique proposée.
Dans rhypolhèse que nous avons faite, la forme quadratique
est un carré parfait et Ton peut poser
? — »" (x* + 2/* + 2') =: {mx -h- W2/ + P^Y'
On a donc
/•-: <p + îCo? + 2CV -f- 2Cz + D, ou,
Cette équation prouve que /':izo, représente une surface de révolution.
^MIO. Théorème. Les plans cycliques qui correspondent à la racine moyenne S" sont parallèles aux cordes principales qui correspondent à cette même racine.
Posons
? " U" {x* -h 2/" + 2"; =: {oiX + Py + y^:) (a'a? -f- P'y -4- Y'2?); nous avons alors
D'autre part, les cosinus (X,[x, v), de la direction principale qui correspond à s", sont donnés par les égalités.
(A-"S)X-hB'V + B'v=io, B"X -f- (A'— M") ;i. 4- Bv - o,
La première de ces relations, en tenant compte des égalités (1), peut s'écrire
2aa'A -I- («P' + jEa') [l H- (y*' -h «yO v = 0,
ou
« (a'X+ 6 V -h y'v) -f- a' («X 4- pjx -h Y^) = 0.
On voit ainsi qu'en posant
p = aX -4- PlJ. -h Y^, et 7 n a'X -f- ?V H- ï'^ on a
(2) «p + a' j = o, Pp -f- 3'ff = o, yp-hy'(j:=io.
Si Ton suppose j =: o, ces relations donnent :
ap = o, Pp = o, YP = o»
et, par suite, p = o ; les paramètres a, 6, y ne pouvant pas être nuls à la fois. Les plans cycliques sont donc l'un et Vautre parallèles à la droite représentée par les équations
droite qui est une corde principale correspondant à la racine S".
Enfin, si Ton admettait que p et or fussent différents de zéro, les relations (2) donneraient
la forme 9 — M" {x* 4- y* -h z*) serait un carré parfait. Dans ce cas, la surface serait de révolution ; il n'y a plus alors qu'une série de plans cycliques réels qui correspondent à la racine double. On sait qu'à cette racine correspondent une infinité de directions principales qui sont toutes parallèles à un plan fixe, perpendiculaire à l'axe; elles sont donc aussi parallèles aux plans cycliques de la surface.
9 10. Ombilics. Les points communs à une quadrique et aux diamètres conjugués des plans cycliques réels s'appellent les ombilics.
Il y a, en général, quatre ombilics: réels, imaginaires, ou rejetés à l'infini. Nous reviendrons plus tard sur la détermination de ces points remarquables*
EXERCICES
i. On considère les deux droites A, A' qui correspondent aux équations
poj» Vorigine, on mène une droite mobile A^, faisant avec -A, wn an^/e V ; avec A', «n an^/e F'; cw angles V, V'^ ayant des cosinus dont le produit est constant.
Démontrer que le lieu décrit par A" est un cône du second ordre et que les plans cycliques de cette surface sont perpendiculaires : les uns sur A, les autres sur A'.
Reconnaître géométriquement cette propriété.
En posant
cosVcosV' = K,
on troaye, pour Téquation du lieu décrit par A'^^
K (a?* H- y* + Z*) = (aa? -f- Py -f- Y^) ( «'a? -H 6'y -»- •> ''^) ' Cette équation met en éyidence la propriété énoncée.
La démonstration géométrique est aussi très simple. Prenons sur A'' un point M et projetons ce point en P sur le plan Ao A'; de P abaissons sur A et sur A' des perpendiculaires PQ, PR et joignons enfin MQ et MR.
Nous avons
OQ = OM cos V, OR = OM cos V,
et, par suite^
(i) OQ.ORzzK.ÔM*,
Dans le plan A'oA" élevons une perpendiculaire à A'', au point M, et soit S le point où elle rencontre A' ; le triangle rectangle OMS nous donne
(2) ôm' = or.os.
Des égalités (i)*et (2) nous déduisons
OQ^K.OS.
Si nous supposons que le point Q soit fixe, alors S est aussi un point fixe ; le point M qui est mobile avec A'^ appartient : !<> & la sphère décrite sur OS comme diamètre; 2** à un plan fixe perpendiculaire à A, au point Q. Le lieu décrit par la droite A'' est donc un cône, ayant pour sommet le point 0, et, pour directrice, un cercle situé dans un plan perpendiculaire à A.
ft. Exprimer que V origine est un ombilic.
En prenant le plan tangent à l'ombilic pour plan XOY, Téquation de la surface est
X* -j-y^z^z {mx -f- ny -i-pz -f- q).
Si les axes de coordonnées sont quelconques on exprime que la section faite dans la surface par le plan qui a pour équation
Cx + C'y + ÇJ'z= 0,
est du genre cercle.
3. Déterminer les plans cycliques de la surface qui con^espond à Féguation
X* -{- lOLyz^z 1.
Les racines de l'équation enSsont — a, + a, et + 1. Trois cas doivent être distingués suivant que a est supérieur,, égal, ou inférieur à l'unité. On voit, en particulier, que si a = 1 ; la surface proposée, qui est un hyperboloïde à une nappe, est de révolution.
INVARIANTS. — RÉDUCTION (Axes rectangulaires).
^11. Nous allons maintenant appliquer la connaissance des directions principales dans les quadriques, connaissance qui, comme nous Tavons montré, dépend de la résolution de réquation en s, à la réduction de Téqualion générale du s3cond degré à des formes simples; cette réduction étant, cette fois, effectuée avec des axes rectangulaires. Nous établirons d'abord les invariants qui nous serviront dans le calcul que nous entreprenons.
Les notations que nous adoptons sont les suivantes. La quadrique Q a pour équation, dans Tancien système,
f =: kx" - j- A'2/* + AV + i^yz -4- 2B'za? -f iWxy 2Ca?-f-2CV-f- 2^2 + 0;
• et, dans le nouveau système
F s: ar 4- a'T + a"Z* + ibYZ + 26'ZX + 26''XY
+ 2cX H- 2c'Y + 2c''Z + d .
Les angles des axes, dans ces deux systèmes, sont respectivement X, [x, v; V, (x', v'. Enfin, les coefficients de l'équation en s sont :
Ao, I, J, A, pour f; et
Ao, i, y, A, pour F. Enfin, les hessiens des formes /" et F sont représentés par les lettres H et ^.
220 D]X-S£PT1ÈM£ LEÇON
591^. Théorème. Qtuind on passe <Pun système (X,{x,v), au système ()/, \fJ, v'), les fonctions :
JL -^ A
Ao' Ao' A/
«on/ de« invariants.
En effet, dans ce passage,
ç devient $
et V,
V :s a?' 4- y' 4- 2* -I- 2zy cos X 4- 2zx cos h- 4- aa^y cos v ,
devient U,
U S X; -h Y* + Z* -f- 2ZY cos V -f- 2ZX cos [a' -f- aXY cos v'. Par conséquent,
quelle que soit la constante s .
Si Ton choisit cette constante de façon que le discriminant de ç — (i.t) soit nul, cette forme quadratique devient une somme de deux carrés et en effectuant une transformation linéaire on conservera cette forme algébrique. Ainsi $ — S.U est ime somme de deux carrés ; les équations en s, qui correspondent aux deux formes ç et $, ont donc les mêmes racines.
L'équation en S étant, comme nous l'avons vu (§ i84),
A— S B'' — Scosv B'— Scos|i.
B'' — Scosv A' — S B— ScosX
B'— ScosiA B —ScosX A"— S
on remarquera que le coefficient de m' est le discriminant Ao de la forme v, et que le terme tout connu est égal à A, discriminant de la forme <p; si Ton désigne, comme nous
LES INVARIANTS 221
Tavons déjà fait, par I et J les deux autres coefficients, on voit que les deux équations :
ayant les mêmes racines, on doit avoir
Ao I J A
Ainsi, les fonctions suivantes :
^: ^: Ao'
conservent la même valeur, quand on passe d*un système d'axes à un autre système; la transformation en question étant effectuée sur la forme ç, au moyen des formules connues (§ 19).
913. Théorème. Dans la transformation générale des coordonnées^ la fonction
Ao'
est un invariant.
Considérons la forme quadratique r {x, y, z, t),
rsx*-fy'-f ^•-f-2y^cosXH-2;îx*cos(ii.4-2a?ycosv + 2Ya7^+2Y'y^"*-2Y"'2^^ +0^*
Après la transformation, r devient une forme quadratique R des lettres X, Y, Z, T, et Ton a :
R s X* + Y* -h Z* -h 2YZ cos X' -f. 2ZX cos ix' 4- 2XY cos v'
2rXT + 2r'YT 4- 2P'ZT -h GT*.
Ainsi, après la transformation,
f devient F ,
par conséquent, quel que soit K,
/*— Kr devient F — KR.
Disposons de K de façon que la forme quadratique f — kr soit une somme de trois carrés et, à cet effet, égalons son discriminant à zéro. L'inconnue K est donnée par l'équalion
B " - Kcos V
— Kcosii.
