C-Ky

— K cos V

—KcosX

G' Ky'

— K cos |x

B — KcosX

C" Ky"

-Ky

C — Ky'

-Ky"

D-Kflr

Cette équation en K est du quatrième degré ; le terme tout connu est le hessien H, et le coefficient de K* est le hessien Ho de la forme r.

L'équation précédente peut donc s'écrire •

(i) IIoK* — ....+H Considérons maintenant Téquation

et désignons par p le rayon de la sphère qui lui correspond. Nous avons démontré précédemment (§ 76) la relation

Aop' + Ho-o.

D'après cela, l'équation (i) devient

Aop'R*-}-....— H = o.

Si nous cherchons, de même, l'équation en K qui correspond à la forme F — KR, nous aurons, p ayant la même valeur,

AoP*K*-h — — /m=o.

Ces deux équations en K ayant les mêmes racines, nous concluons enfin que

IJ h

LES INVARIANTS 223

La fonction — jouit donc de la propriété de rinvariance.

11^14. Remarque. Les démonstrations précédentes sont soumises à l'objection ordinaire que nous avons déjà signalée dans la géométrie plane (§ 208). La conclusion à laquelle aboutissent toutes ces démonstrations est rigoureuse, si Ton suppose que les deux équations considérées (ou seulement Tune d'entre elles) n'ont pas de racines multiples; elle n'a plus la même certitude, dans Thypothèse contraire.

Pour Péqualion 5 (s) = o, il a été répondu déjà à Tobjection en question (G. pL, loc. cit.)

Quant à l'équation A (K) = o, nous verrons un peu plus loin qu'elle ne peut avoir de racines égales que si la sphère considérée est tangente à la quadrique donnée. Cette circonstance particulière ne sera pas réalisée, si, comme nous le supposons, rm représente une sphère quelconque dans l'espace.

5^1 &. lavariant particulier au cylindre. Théorème.

Si Von considère le hessienR correspondant à une forme qui, égalée à zéro, représente un cylindre, la somme des trois mineurs, somme qu'on peut représenter par H^ -h Hj^, + ^'^n

est un invariant, quand on passe d'un système rectangulaire à unsystème de même espèce.

En prenant Taxe du cylindre pour axe oz^ et les deux axes d'une section normale quelconque pour axes ox et oy /Téqua* lion du cylindre, dans le nouveau système, est

On a donc

f{x,y,z,t) =: aV + a'T -h a"T

x^yjZ,t désignant, dans cette identité, des formes linéaires des lettres X, Y, Z,T. Si l'on observe que ^ iz T =: i, on voit que la forme quadratique

est une somme de deux carrés ; et comme son discriminant

tous les mineurs de prâmière classe de ce déterminant sont nuls.

En particulier, on a

On trouve, de même,

h;, — a' (A"A — B'«) n o, h;, — a''(AA' — B'") = o.

Ces trois dernières égalités donnent, par combinaison, (2) h; 4- h;, 4- H;„ iz a" (AA' H- AA"+ A'A'' - B* — B'*— B'^)

On a d'ailleurs, par application des invariants,

aa' = AA' -f- AA" + A'A'' — B' — B'* — B"'.

D'autre part, les nombres w, et w,

sont des invariants absolus parce qu'ils représentent les carrés des axes de la section normale. Ces deux formules condulsent à la suivante :

aa'

zza'

AA'-hAA^ + A'A''— B'— B"— B''*

LES INVARIANTS • 22 o

Les fonctions ;