RÉDUCTION DE L'ÉQUATION GÉNÉRALE

(Axes rectangulaires.)

916. Théorème. A deux racines distinctes de Inéquation en S correspondent deux directions rectangulaires.

Les notations adoptées plus haut (§ 200) étant prises de nouveau, on a *

AV + B V + B'v' = S'X', A)/ + BY + B V 1= S^O/ , B'X'-f- AV 4- Bv' = S V, B''X"-f. xy h- Bv" = ^Y y B'X'-+ B|x' -h A"v' = S'v', B'X'' 4- W 4- M'^"= ^"^" .

Multiplions ces égalités, respectivement, par

X^iA^V'; et X',[a',V;

nous avons, par comparaison,

(S' - S") (XV + [A V + v'v'O zz: . Db L. Tomb IU. 1 5

Comme m' n'est pas égale à s'^, nous concluons^ de celte égalité, la suivante:

et celle-ci prouve le théorème énoncé.

f^ÈH. Théorème. Lorsqu'on prend pour axes de coordonnées O'X, O'Y, O'Z trois directions principales.

1® Les termes en XY, XZ, et YZ disparaissent. 2« Les coefficients des termes en X*, Y', et Z* sont égaux atuv racines de Péquation en S.

Les formules de transformation étant

xzzzWX-h'k'Y-hVZ, y = li.'X -f- ix'' Y -f- ijl'^Z , ^ = v'X 4- v^Y + v'^Z ;

la forme f (a;, y, z, t) devient F (X, Y, Z, T) et les nouveaux coefficients se calculent par les formules :

a = AX'* +AV-f- AV + 2B|xV4- 2BVX' + 2BV'>^' a'= A\"* + + 2B VX"

a"= AX'"« + + aBV"''^"

b ==:AXV + AyV'-4-AVV^+B(H.V'+vV'0+B'(XV'+ vV')

+ B''(XV-+-A"') 6'=AXV'+ •. 4- B"(X V + l^V')

b'z=:AX'r-h +B''(XV'+ixV).

D'autre part, les relations :

IAX'-hBV + BVzzzST, B''X'H-AV'-hBv'i=»y, B'X' + B\fJ -f- A"v' = S'v' ,

multipliées respectivement par X" [t!' v", donnent

. ô'' = S' (XV + \f.y + v\")

et, par conséquent,

LES INVARIANTS

puisque les directions principales sont, deux à deux, rectangulaires.

On voit de même que b. et b' sont nuls.

Enfin, si Ton multiplie les égalités (H) par X', [;./ v', et si Ton ajoute ces résultats, on a

ou

On trouve aussi

a'-^\ et a^zisr