Réductioa des surfaces de la première
(A;2io). Faisons d'abord tourner les axes (supposés rectangulaires) autour de Torigine et prenons pour axes nouveaux le trièdre que nous avons appelé trièdre principal. Si les racines de réquation en s sont distinctes, ce trièdre est bien déterminé; si non, nous avons vu qu'il y avait une infinité de trièdres principaux et, dans ce cas, nous prendrons Tun d'entre eux, arbitrairement.
L'équation de la quadrique prend la forme
§'X* + ^"T + S'^Z* — 2yX — 2y'Y— 2y"Z 4-0 = 0.
En transportant les axes, parallèlement à eux-mêmes, au point dont les coordonnées sont :
jf
réquation comporte une nouvelle simplification et devient : (iiilculons maintenant la nouvelle constante Dj. A cet effet»
remarquons que le hessieii de celte équation se réduit à S'»"»'"Di ; nous avons donc, les axes étant rectangulaires,
et comme
nous obtenons, enfin,
Concluons donc : // existe, pour les surfaces de la première classe, un trièdre trirectangle qui, étant pris pour constituer les axes de coordonnées^ domine Véquation de la surface sous la forme :
(1) s'5*-hSV + sT-4-^ = o.
Dans cette équation, H est le discriminant de la forme f, A celui de ç; enfin »', »", »'", désignent les trois racines de Véquation eri S.
^19. Rédactioa des surfaces de la secsoade elasse
(A=zo, H'^o). Dans le cas où l'équation donnée représente Tun des deux naraboloïdes, nous savons que Téqualion en s admet une seuie racine nulle »'. La quadrique, rapportée au trièdre principal, a pour équation
S'^Y* + S''Z* — ayX — 2y'Y — 2y''Z -h D = o.
Transportons maintenant les axes, parallèlement à euxmêmes, au point qui a pour coordonnées :
réquation devient
LES INVARIANTS
Disposons alors de rindétennînée a de façon que nous ayons
chose possible, car y n'est pas nul(*); nous obtenons Téqualion réduite
(II) SV4-ST— n5=o.
Pour calculer y, observons que le hessien de cette équation est
Nous avons donc (§ 2i3)
,*^ff^m
Cette relation fait connaître pour y deux valeurs égales, et de signes contraires. Il ne parait pas aisé de vérifier que ces valeurs sont réelles, mais on peut expliquer, à priori, pourquoi elles le sont nécessairement. En effet on peut supposer que Ton ait effectué directement sur Téquation donnée, et sans avoir recours à la connaissance des invariants, la transformation nécessaire pour aboutir à Téquation (II). Nous savons, d'ailleurs, que cette transformation est possible et qu'elle ne peut introduire dans le calcul que des éléments réels; ainsi y est une quantité réelle.
Quant au double signe qui affecte la valeur de y, il n'apporte avec lui aucune ambiguïté; puisque, en changeant, à volonté, la direction de l'axe o Ç, on peut disposer du signe de y-
1. Si Y était nul, la quadrique proposée serait un cylindre et non, comme nous le supposons, une parabololde.
En résumé : les surfaces de la seconde classe rapportées à un certain Irièdre trirectangle ont une équation de la forme
(II) S^*-hST = 2Y5,
s'' et %*" étant les deux racines non nulles de V équation en%, et le coefficient y ayant pour valeur absolue :
95MI. Rédaction des surfaces de la troisième classe.
On trouve, d'abord, par la considération du trièdre principal,
S'X' -f. S V — 2yX — 2y'Y h- D = ;
puis, par un transport convenable des axes, parallèlement à eux-mêmes,
