III) S'X*-+-SV=:D
Pour calculer D, on peut utiliser l'invariant particulier au cylindre W^ -h Hj^, -f- H^,, ; mais, dans la pratique, il parait aussi
simple d'effectuer la réduction directement, et comme nous allons l'indiquer.
On sait que toutes les sections planes faites dans la surface qui nous occupe ont leurs centres placés sur une droite fixe, que nous appellerons Vaxe du cylindre. En particulier, on pourra considérer la section faite par Tun des plans de coordonnées et transporter les axes, parallèlement à euxmêmes, au centre de cette section.
Les équations de Taxe sont alors
et si Ton coupe le cylindre par un plan perpendiculaire à cette droite, ce plan a pour équation
oix-^6y -Hy^izio.
En cherchant ensuite Téquation de la section dans ce plan.
LES INVARUNTS 231
problème que Ton résout par des formules connues (§ âS), on aura Téqualion de la section droite et, par la transformation ordinaire, l'équation réduite de celte section.
Cette méthode, légèrement modifiée, s'applique au cylindre parabolique. On met en évidence une génératrice de celte surface, puis Ton traiisporte les axes, parallèlement à euxmêmes, au point où celle droite rencontre l'un des plans de coordonnées ; ou en un point quelconque de cette droite, si Ton y trouve quelque avantage. En chercîhant alors la section droite on obtient l'équation d'une parabole, et on sait comment on trouve Téquation réduite de cette courbe, en axes rectangulaires.
ft^l . Rédaotlon ûea surfaces de la quatrième et de la cinquième classe. Lorsque la surface proposée représente un cylindre parabolique, la considération d'un trièdre principal conduit d'abord à l'équation
a Z* — aiwX — 2nY — apZ -hq-rzo.
En posant :
mzzzt cos ç , w z= ^ sin ç .
régalilé précédente peut s'écrire
aZ* — 2t (X cos 9 + Y sin ç) — 2pZ 4- g ==: o .
Effectuons maintenant une rotation d'amplitude, 9, autour de OZ ; les formules de transformation sont :
X = X' cos 9 — Y' sin 9 , Y=X'sin9-+-Y'cos9, Z = Z',
et nous obtenons Téquation nouvelle
aZ" — 2»' — apZ' -^ g = o.
En transportant les axes, parallèlement à eux-mêmes, au
232 DIX-8EPTIÈME LEÇON
sommet de la parabole qui correspond à cette équation, nous avons, finalement,
(IV) aÇ*=:A?.
Quant au paramètre - qui représente la dimension du cy-
lindre proposé, on peut le calculer : soit par l'application de l'invariant H]^-hH^,;4-H^„, soit parla méthode directe que
nous avons indiquée tout à l'heure.
Le cas des surfaces de la cinquième classe n'offre aucun intérêt; ce qu'on peut appeler ici la dimension de la surface c'est la dislance des deux plans parallèles, et cette longueur se détermine immédiatement, quand on a mis, par un calcul évident, Téquation proposée sous la forme :
EXERCICES
f . Rapporter à son centre et à ses axes^ la qitadrique qui a pour équation
iJlx* 4- i4y* 4- S^* — Sxy — Axz — 4yz -f- i8a? — iSy -}- 5 zz o ,
L'équation en S est, dans cet exemple,
Ses trois racines sont 6, la, et 18; et le résultat final est donné par l'é* galité
6X' -h 9 V + 3Z* zi: 2 .
S. Rédutre, en axes rectangulaires, le paraboloïde elliptique qui correspond à l'équation j
. 32x* + iSy^-hSoz^-^-iSxy — ^x + Ayzzio.
EXERCICES 233
L'équation en S est
S* — 1 ooS 4- 2000 3= o ;
et, Ton trouve, pour l'équatiou réduite
ioX*+ioy=i,
3. Trouver les dimensions de la surface qui qui est représentée par Véquation
rr*(2a* -h P*) -h 2/* (^^3* 4- «") -H ^^^ («• -♦- P*) -+- aagajy = «* 4- 6«. L'équation en S est
elle a deux racines égales à a'-f'P' ^^ ^^ troisième égale à a (a*4' P')> L'équation réduite est
X'-hY"— 2Z*=i.
4. Trouver les plans principaux et les dimensions de ^ellipsoïde qui a pour équation
a^{2(x' -h g") + îr'(2P' -h «•) 4- 2 (a" + 3«)2» -h 2aPa:y = a" -h pV Les plans principaux correspondent aux équations :
Pjj — (xy=zo, aa?4-Py — V^a*-|-6*2s:o,
«^+ Py + VaM-6^^ = o, et Tëquation réduite est, finalement.
