INTERSECTION DE DEUX QUADRIQUES. — HOMOTHÉTIE ET SIMILITUDE

999, Deux quadriques correspondant aux équations :

(i) = 0, ^ = 0; Q s Aa?*+ Ay + A V+ 2By^-^ 2B'^a?-h 2B"a?y 4- 2Cxt'h2Cyt 4- -iC'zt-hDf]

admettent une infinité de poinis communs: L'ensenible de ces points forme une courbe y qui, généralement, est une courbe gauche du quatrième ordre. Dans certains cas particuliers, elle se décompose en deux coniques; et, dans une hypothèse, plus particulière encore, que nous signalerons plus loin quand nous nous occuperons des quadriques homothétiques, Tune de ces coniques peut être rejetée à Tinfini. En un mot, c'est la situation relative de deux quadriques, données par leurs équations, qui fait Tobjet des développements exposés dans cette leçon.

993. Théorème. Il existe, en général, quatre cônes passant par la courbe y, intersection de detuc quadriques. (Théorème de Poncelet.)

Démontrons d'abord que l'équation

représente Téquation générale des quadriques Q, passant p^r les points communs aux quadriques Q et q.

1*» La quadrique (Q') passe par tous les points communs à Q et à g, car toute solution des équations (i) est, visiblement, une solution de (Q').

a*» Montrons maintenant que (Q') représente Téquation de toutes les quadriques passant parla courbe y, définie comme nous venons de le dire.

En effet, soit Mo un point, non situé sur y, et appartenant à une quadrique S passant par y; l'équation

représente une quadrique S passant par y ot par Mo; je dis que S' se confond avec S.

En effet, un plan P passant par Mo coupe S suivant une conique a, et S' suivant une conique a' ; ces deux courbes ont cinq points communs, savoir : i® les quatre points communs à 7 et à P, 2» le point Mo. Ainsi, a, et c' se confondent; et ceci ayant lieu pour une infinité de plans tels que P, les deux quadriques S et S' sont elles-mêmes confondues.

Ceci posé, revenant au problème qui nous occupe, nous observerons que Téquation (Q') représentera un cône, si elle est une fonction homogène, et du second degré, de trois formes linéaires telles que

<yx -}- Py -|- Y^ + ^t-

Ainsi, le discriminant de XQ-Hixg est nul, cette forme devant être décomposable en trois carrés, tout au plus. Ecrivons donc

XA -f-l^a

XB' + \i.b' XC + [f^

XB" -h [Lb' XA' -h [f-a' XB +\Lb XC -h V^'

XB' +\Lb' XC + [XC

XB -1-1*6 XC'-f-ixc'

XA^'-f-H^a" W-hV-c"

XC"-+-[xc" XD+iAC?

Celte équation développée peut s'écrire

(i) HX*-f.exV + ©'XV-h©''Xix'-+-V='>,

II et h désignant les hessîens des formes Q et q. Nous supposons, d'ailleurs, que les équations

Qzno, ^ = 0,

représentent de véritables quadriques et que, en particulier, les fondions H et A sont différentes de zéro/ L'équation (i)

permet donc de calculer, pour le rapport-, quatre valeurs :

réelles, imaginaires, ou coïncidentes. Concluons enfin qu'il existe quatre cônes passant par les points communs à deux quadriques ; en sous-entendant que ces cônes peuvent être, suivant les cas proposés, réels, imaginaires, ou coïncidents.

9JS4. Théorème. Deux quadriques Q, q, étant données ; il existe^ en général, quatre points jouissant de la propriété d'*avoir le même plan polaire par rapport à ces deux surfaces.

Ces quatre points sont les sommets des quatre cônes passant par les points communs à Qet à q.

Soient (a?, y, z, t) les coordonnées d'un point M ayant le même plan polaire par rapport aux deux quadriques qui correspondent aux équations

Les deux équations :

xo;-^Yo;^.zQ;+To;=o,

devant représenter le même plan, on doit avoir

Ces équations, linéaires et homogènes, par rapport aux lettres a?, y, z, t, devant être vérifiées par une solution non nulle, leur déterminant général est nul. Ce déterminant étant précisément le discriminant de la forme X Q + H^ â', on trouve, de nouveau, la condition

Il y a donc quatre points tels que M (du moins dans le cas

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général) et ces points sont justement ceux que nous avons rencontrés dans le paragraphe précédent. Nous allons expliquer tout à rheure celte coïncidence.

Ces points M» Mi Mj M3 forment un tétraèdre qui est di^ conjugué aux deux quadriques.

En général, un tétraèdre est conjugué, ou aulopolaire^ par rapport à une quadrique, lorsque chacune de ses faces a pour pôle, relativement à cette surface, le sommet opposé.

1S95. Théorème. Le plan polaire P de Vun des points M, précédemment trouvés, est le même pour toutes les quadriques qui correspondent à Véquation

^ et X étant des nombres variables.

Le plan polaire de Mo {ocoy Voy Zo, to), par rapport à la quadrique qui correspond à l'équation (1), est

On a, d'ailleurs,

L'équation (a) donne donc, par combinaison avec ces relations,

et cette égalité prouve que Po, plan polaire de Mo, est le même pour toutes les quadriques (1).

ft^t^. Théorème. Le plan polaire de Mo, par rapport à toutes les quadriques (1), est le plan M^ Mj Mg.

En effet, considérons les trois cônes qui ont pour sommets les poyits Mj, M,, M3, surfaces qui peuvent èlre considérées

comme correrpondant à réquation(i), pour des valeurs particulières, et convenablement déterminées, des paramètres X', |/.'. Le plan polaire de Mo par rapport à chacune de ces cônes, passe, évidemment, par son sommet; ceci établit la proposition.

999. Théorème. Lorsque deux coniques a et ê, situées danser espace, ont deux points communs G et D, on peut faire passer par ces courbes deux cônes du second ordre.

Prenons les plans de a et de 6 pour plans de coordonnées ; le plan XOY étant un plan quelconque, coupant CD.

Les équations des coniques proposées sont

Ay + 2;'-+- 2By2 -h 2C'y-f-2m2:-|-P=ro,

et réquation générale des quadriques qui ont pour traces ces courbes a et 6, sur les plans ZOX, ZOY, est

(i) Aaî*4-Ay4-j3;*4-2By2;4-2B'2a;-+-2Xa?y-i-2Ca?-f-2C'y-h2m2:-f-p=o,

X désignant un paramètre variable. Pour que cette équation ' représente un cône, il est nécessaire que son hessien soit nul ; écrivons donc

Cette équation est du second degré en À, et le coefficient

de X' est égal à m* — p. Si nous supposons que les points C et

D soient distincts, il y a deux cônes (réels ou imaginaires)

passant par a et ê.

Lorsque les points C et D deviennent coïncidents, le terme

en X* disparaît et il n'y a plus qu'un cône passant par les deux coniques ; Tautre cône, correspondant à une valeur

infinie de X, se réduit, d'après l'équation (i), aux deux plans passant par les coniques. Cette propriété résulte encore des considérations géométriques suivantes.

. Considérons les deux coniques a et 6, situées dans les deux plans U et V, mais ayant deux points communs C et D ; si nous menons à ces coniques des tangentes parallèles à CD, nous obtenons quatre points de contact A, A' ; B, B' ; et ces deux points étant joints, deux à dsux, déterminent un quadrilatère complet. Il faut en effet observer ici que les droites AA' et BB' (diamètres conjugués des cordes parallèles à CD) passent, Tune et Tautre, par le milieu de cette droite ; les quatre points considérés sont donc dans un même plan et, étant joints deux à deux, comme nous venons de le dire, donnent trois points T,S, o) ; celui-:ci étant le milieu de CD.

Ceci posé, nous allons montrer que les coniques a et 6 appartiennent à un même cône ayant pour sommet, soit le point S, soit le point T.

Pour le démontrer, imaginons le cône S qui a pour sommet S et pour directrice a, ce cône coupe le plan V suivant une conique que nous désignerons par 6' ; et nous allons établir que 6' se confond avec 6.

Nous voyons d'abord que 6' passe par les quatre points B, B', C, D ; cherchons la tangente à 6' au point B. Cette droite

Fig. 26.

est l'intersection de V avec le plan tangent à 23, le long de SB ; mais ce plan tangent est déterminé par SAB et par la tangente AK ; comme BH est parallèle à AK, on peut dire quç

SBH est .le plan tangent à 12 au point B. Ainsi, la droite BH est la tangente à 6' au point B ; les coniques 6 et 6' ont donc cinq points communs, savoir : 1* les points C, D, B' ; 2* deux points confondus avec B, sur BH; ces deux coniques coïncident donc.

5IS9B. Lorsque les points C, D sont confondus, le cône qui a pour sommet le point T coïncide alors avec le système des deux plans U et V. Il ne reste plus, comme Ta montré l'analyse, qu'un seul cône ayant pour sommet un certain point, représentant la posilion limite de S.

Pour déterminer cette position limite, on peut observer que le cône S. peut être engendré de la manière suivante. Ayant pris un point M sur CD ; si, par M, on mène des^ tangentes

Fig. 27.

aux coniques a, .6, la droite qui joint les points de contact passe constamment par les points S, ou T. Nous avons en effet démontré que les droites joignant S à un point l de a coupait le plan V en un point J situé sur 6. En ces points correspondants I, J, on peut mener les tangentes aux coniques proposées ; et ces droites coupent CD au même point M, ce point étant celui qui est commun à CD, et au plan tangent à S le long de la génératrice SU.

C'est en appliquant celte remarque qu'on peut déterminer,

comme l'indique la flgure ci- dessus, le point a, position limite du point S.

930. Théorème. Lorsque deux quadriques ont cinq points communs dans un plan, l'intersection se compose de deux coniques.

Soient A, B, C, D, E les cinq points communs à deux quadriques Q, q, points situés dans un plan P ; ce plan coupe Q' suivant une conique T qui passe par les cinq points, et q suivant une conique y passant, elle aussi, par ces points. Nous concluons de là que les coniques F et y se confondent.

Cette remarque étant faite, prenons le plan P pour plan XOY; les équations des quadriques Q et ç doivent donner la même courbe (F ou y) quand nous supposons z=zo. Soit <p — 0, l'équation de F (ou de y) dans le plan XOY ; U et V désignant des formes linéaires des lettres x, y, z, nous aurons :

(i)%U = tj), (2) 2:V = 9,

pour représenter les équations des quadriques considérées. Pour chercher les points communs à ces surfaces, nous devons résoudre (1) et (2) ; ou Tune d'elles, avec Téquation

obtenue par la combinaison des relations (1) et (2). Les points communs à Q et à g sont donc situés dans le plan YOX, ou dans celui qui correspond à Téqualion

U — Vzno;

la propriété en question se trouve ainsi établie.

On l'énonce encore quelquefois en disant que ; dans l'intersection de deux quadriques, si la courbe d^ entrée est plane, la courbe de sortie l'est aussi,

931. Définitions. On dit que deux sur faces sont circonscrites Vune à Vautre, lorsqu'elles admettent le même plan tangent, en tous les points qui leur sont communs.

Deux quadriques sont simplement tangentes lorsqu'elles ont le même plan tangent en un point commun ; cette propriété n'ayant lieu pour aucun des autres points communs.

DbL. ToheIII. 16

Elles sont bi-tangentes, lorsqu'elles sont tangentes en deux points.

Nous montrerons tout à l'heure que cette propriété ne peut avoir lieu pour trois points que si les quadriques sont circonscrites.