Théorème. Les équations de deux quadriques étant
si Von pose
P^zax -hby -\'CZ'hdt, et si Von a *
les deux surfaces considérées sont circonscrites^ Vune à Vautre, le long d'une courbe plane.
Soit Mo un point commun à Q et à g ; le plan tangent II, à Q, en ce point Mo, a pour équation
et, d'autre part, l'équation
(3) xq'^ H- yq' + zq', -H tq', = o ,
représente le plan II' tangent à q, au même point Mo- D'ailleurs, l'identité (i) donne
(4) Q; = y, + 2aP, et Qo = Xîo^ + Po«; le point Mo étant commun aux deux quadriques, on a : Qo = o , îo = ; et, par suite, Po = o .
L'identité (4) prouve donc que
Cette remarque s'appliquant aux autres dérivées partielles on voit ainsi, finalement, que les égalités (a) et (3) représentent le même plan.
933. Tbéoréme. Lorsque deux quadriques Q^q, ont trois points commum A, B, C ; si les plans tangents a, 6, y> en ces points, sont les mêmes ; les de\ix surfaces sont circonscrites Vune à Vautre, le long d'une courbe plane.
Le plan ABC coupe les plans a,6,Y, suivant trois droites A', B', G' ; et les quadriques Q, q, suivant deux coniques S, œ, qui sont inscrites au triangle ABC, aux points A',B',G'. On conclut de là que ces coniques S, a, se confondent, et en désignant par S cette conique, on peut dire, déjà, que S est une courbe commune aux deux quadriques.
Montrons maintenant que Q et g n'ont aucun point commun, en djehors de S.
Soit M un point situé sur Q et sur q. Le plan MAB coupe a suivant ime droite a', et 3 suivant une droite P'. Appelons S', a' les coniques communes au plan MAB et, respectivement,, aux quadriques Q et q. S' passe par M, puis par A et B, tangentiellement aux droites a', 6' ; cette remarque s'applique à d' ; d'où l'on déduit que S' et a' se confondent.
En raisonnant ainsi sur les plans MAB, MBC, MCA, on voit que si M était un point non situé sur S, Q et g auraient quatre coniques communes ; ce qui n'est pas possible.
Les quadriques considérées n'ont donc aucun point commim en dehors de S et il est facile de vérifier maintenant qu'elles se touchent mutuellement tout le long de cette courbe.
L'équation
Q— Xg = o,
qui représente l'équation générale des quadriques passant par les points communs aux surfaces considérées, doit, pour une valeur convenable de X, se réduire à P*; Puzo représentant réquation du plan ABC. En effet, s'il en était autrement, les
quadriques auraient en dehors du plan ABC des points communs (réels, imaginaires, ou rejetés à Tinfini), ce qui n'est pas possible comme nous l'avons observé.
Nous avons donc
et cette identité établit (§ 232) que les surfaces considérées sont circonscrites l'une à l'autre.
ftS^, Théorème. Lorsque deux quadriques Q, q se coupent suivant une courbe qui se décompose en deux coniques r, Y, elles sont bi-tangentes.
Les coniques F et y sont situées dans deux plans P, p, qui se coupent suivant une droite rencontrant les quadriques proposées aux mêmes points  et B. Le plan tangent à Q, au point A, est déterminé par les tangentes, en ce point, aux coniques F, y; il est donc le même pour Q et pour g. Cette remarque s'applique au point B; les deux quadriques Q, q, sont donc bi-tangentes.
On peut d'ailleurs reconnaître analytiquement cette propriété.
Soient
les équations des deux quadriques ; celles-ci se coupant suivant deux courbes planes, on a donc
(7=:XQ-hUV,
U et V représentant deux formes linéaires. Les équations
\]=zax-hby'hcz-¥'dt=zo, V = a'ir-f-ô'y-f-c'2-j-c^^z=:o,
représentent une droite qui rencontre les quadriques considérées en deux points A, B, communs à ces surfaces. Si l'on représente par {a?o, y^ ^0, /o) les coordonnées du point A, on a
Uo=o, Vo==:o, Qo=o, ^0=0;
et l'identité donne
En appliquant cette remarque aux quatre dérivées partielles, on voit que les plans tangents, au point A, aux deux quadriques, coïncident.
593S. Théorème* Lorsque deux quadriques sont hitangentes elles se coupent suivant deux courbes planes. Montrons d'abord que Téquation
(2) XF + [jlPR + vR« z= UV,
dans laquelle X, \l, v sont des paramètres variables; (P, R, U, V étant des formes linéaires à coefficients constants) représente l'équation générale des quadriques tangentes, en deux points fixes, aux plans qui correspondent aux équations Ui=o, V = o. A cet effet, considérons les équations
et. supposons qu'elles admettent une solution unique et finie (a;o,yo>^o;0>ce qui est le cas général. Nous avons alors
PoZIIO, Ro=o, Uo=o,
et, en appliquant l'équation de Plûcker (§91), après l'avoir prise sous la forme
nous obtenons
ou
en supposant Vo;z^ o, hypothèse qui rentre»encore dans le cas
général, le seul que nous voulions examiner ici. Ainsi, la surface proposée S est tangente au plan (2) en un point A, déterminé sur ce plan, et. dont les coordonnées vérifient les équations (1). Le même raisonnement établit que S est tangente au plan (Vzzo), en un point B, dont les coordonnées se calculent en résolvant les équations
(1') Piz:o, R=o, V = o.
Enfin, si l'on observe que Téquation (S) renferme trois paramètres variables et indépendants, une quadriqae pouvant remplir neuf conditions et S étant assujettie à six conditions simples, on voit que (S) est bien Téquation générale.
Ceci ^$é, réquation (2) et la suivante :
(2') XT•-^-lA'PR-^v'R•IzUV, donnent, par combinaison,
(X — V) P* -^ ( li. - ix') P R + (v — V ') R' = o .
Cette équation représente deux plans (réels ou imaginaires) se coupant, suivant la droite A qui correspond aux équations
cette droite est donc celle qui joint les deux points de contact.
C'est pour ce motif que deux quadriques ne peuvent avoir trois plans tangents communs, avec les mêmes points de contact, sans être circonscrites l'une à l'autre.
93G. Remarque. On peut aussi observer que si deux quadriques (Q = o, ^ = 0) sont bi-tangentes, on a
Q s ag H- XP* + (xPR 4- vR*.
HOMOTHÉTIE ET SIMILITUDE
939. La transformation homothétique, que nous avons définie dans la géométrie plane (§ 187), s'applique, avec des modifications évidentes, à la géométrie de l'espace.
Les formules de transformation sont ici
et si nous appliquons ces formules à Téquation générale des quadriques, nous voyons que les équations
représentent deux quadriques homothétiques, si les égalités
sont vérifiées. Ces conditions sont nécessaires et suffisantes. Elles prouvent entre autres choses, que deux quadriques homothétiques ont leurs axes parallèles et que les longueurs de ces axes sont proportionnelles. £n effet, les équations en S, qui correspondent aux deux équations proposées ont leurs racines proportionnelles. On voit aussi que les cônes asymptotes des deux quadriques sont égaux et que l'intersection de ces deux surfaces est une simple conique, située dans le plan qui a pour équation
aF — A/'zio.
C'est par cette observation que Thomothétie se rattache à la question que nous avons développée dans cette leçon, et Ton peut dire que deux quadriques sont homothétiques y lorsqu'elles se coupent suivant deux courbes planes^ Vune de ces courbes élant rejetée à Vinfini,
Toutes ces remarques offrent Tanalogie la plus parfaite avec celles que comporte la transformation homothétique dans un plan; mais voici, sur ce sujet, quelques propriétés qui appartiennent seulement à la géométrie de Tespace.
93S. Théorème. Lorsque deux courbes U, Y» situées dans un plan P, sont homothétiques ; leurs projections U', V, sur un plan P' {projections droites ou obliques), sont av^si homothétiques ) et réciproquement.
En effet les rayons vecteurs correspondants p, a, des courbes U et V étant parallèles, leurs projections p' a' sur P' sont deux droites parallèles. On voit d'ailleurs immédiatement que les rayons projetés p', ^' sont proportionnels aux longueurs p et (y- Le rapport - étant constant, il en est donc de
même du rapport -, ; les courbes U', V, sont donc homothé-
tiques.
La réciproque est vraie ; si les projections U' et V sont homolhétiques, les courbes U et V sont nécessairement homothétiques ; et ceci n'est pas, à proprement parler, une réciproque, mais vbien une application du théorème direct, puisqu'on peut considérer U et V comme les projections obliques des courbes U' et V, sur le plan P.
Le théorème subsiste évidemment quand les courbes U et V sont situées dans des plans parallèles, et les projections peuvent même être faites sur des plans différents, mais parallèles.
)S39. Théorème. Les sections faites dans une quadrique par des plans parallèles sont des coniques homothetiques. Prenons Téquation du plan sécant sous la forme :
z zm mx + wy + X ,
m ein représentant des paramètres fixes, X étant seul variable. La projection de l'intersection sur le plan XOY a pour équation
ç(ir,y,tna?-»"Wy-4-X)-h2Ca;-h2C'y-f-2C"(ma;-hwy-f->w)-hD=:o.
L'ensemble des termes du second degré est constitué par la forme ? (a?, y, mx-^ny); le paramètre X n'entrant pas dans cette expression, les projections des sections considérées sont homothetiques, cetle propriété appartient donc aussi aux coniques situées dans l'espace (§ 238).
INTERSECTION DE DEUX QUADRIQUBS 2i9
ft4M. Théorème. Les sections faites par un même plan {ou par deux plans parallèles) dans deux quadriques homothétiques sont des courbes homothétiques.
En effet, les équations des deux quadriques peuvent être prises sous la forme :
Q = ?-HP, q = lL^+p,
K désignant le rapport des coefficients des termes du second degré. Le raisonnement que nous avons fait au paragraphe précédent s'applique à ces deux équations; les termes du second degré dans Féquation de la projection seront constitués par la forme 9 (a?, y, mx + ny), pour la première; et par K ? (x, y y mx + ny), pour la seconde. D'où Ton conclut que ces projections, et par suite les sections planes considérées^ sont des coniques homothétiques.
59^11 . C)orollaire. Les sections faites par un plan dans une quadrique et dans son cône asymptote^ sont des coniques homothétiques.
Cette propriété résulte immédiatement du théorème précédent, en observant que le cône asymptote représenté par réquation <p =: o, peut être considéré comme une quadrique bomothétique à la proposée.
Cette propriété est souvent employée pour exprimer que les sections faites dans une quadrique affectent une certaine forme. Si Ton prend, par exemple, l'équation générale des plans tangents au cône asymptote ; tout plan parallèle coupera la quadrique suivant une parabole. Dans d'autres cas. si Ton exprime, comme nous le montrerons dans la leçon prochaine, qu'un plan coupe ce cône suivant deux droites rectangulaires ; les plans parallèles à celui-ci couperont la quadrique correspondante suivant une hyperbole équilatère.
9^9. Similitude de deux quadriques. La définition que nous avons dortnée de la similitude, dans la géométrie plane (§ 190), s'applique à l'espace et on dit que deux surfaces S, S' sont semblables lorsqu'on déplaçant l'une d'elles on peut l'amener à être bomothétique à l'autre.
Deux quadriques étant homothétiques lorsque leurs axes sont parallèles et ont des longueurs proportionnelles, oli voit donc que deux qiuidriques seront semblables lorsque les longueurs des axes seront proportionnelles.
En formant les équations en s qui correspondent aux équations des quadriques proposées :
ety an icrivant que les racines sont proportionnelles, on a
\ = ti,
Les conditions nécessaires et suffisantes pour que deux quadriques soient semblables sont donc :
EXERCICES
i . Lorsque deux quadriques ont un plan tangent commun P et le même point de contact 0,
i*» Ce point est le sommet de Vun des cônes qui passent par la courbe d'intersection des deux quadriques;
2« Les quatre cônes que Von trouve dans le cas général se réduisent à trois.
En prenant pour origine le point et pour plan XOY le plan P, les équations des quadriques s'écrivent
q=:(^-hZ = o,
et le discriminant de la forme Q + KÇ' est
A + Kaj B''-hK6% B' + K6',
zz o
On aperçoit ainsi la racine double — 1.
EXERCICES 251
9. Si deux quadHques ont deux droites à, A' communes , et non situées dans le même plan^ leur intersection se compose de quatre droites.
(Steiner.)
La courbe commune aux deux quadriques se compose de A, de A' et d'une courbe du second ordre, ou de deux autres droites. La première hypothèse doit être rejetée; car, si la courbe d'entrée est plane, la courbe de sortie l'est pareillement,
