D'APOLLONIUS

Avant d'aborder, comme nous le ferons dans la leçon suivante, rétude des quadriques, d'après leurs équations réduites, nous nous proposons d'appliquer quelques-unes des théories que nous avons exposées jusqu'ici, à des exercices divers.

19413. Théorème. Lorsque le plan qui correspond à Véquation

mx 4- ny -}- pz :^o,

coupe un cône G, suivant deux droites rectangulaires A, A', V équation de ce cône étant

{c) f{x,y,z)—Ax''hAY'hk'z-'^-2Byz + 2B'zx -|- 2B'xy=:o,

on a

et réciproquement.

En effet, soient

les équations des droites A et A'; la condition nécessaire et suffisante pour qu'elles soient rectangulaires est

ax' + 66' -h Vy'=:o.

Si Ton cherche les projections A et de A' sur le plan XOZ, on trouve, pour les déterminer, Téquation

a;*(An*-+-A'm'— 2B'wm)+2*(Ay-f-AV— 2Bpn) + . . .=o.

On a donc

A'/>*-|- M'n' — iWpn "" An' -4- A'm* — iWmn ' On trouve, de même,

Yï

Ap* 4- A'W — 2B'i7ip ~ kn* -4- A'm* — 2B"mn La condition cherchée est donc ; A'/ + AV — 2B/?» + Ap* + A'W — 2B'm/) + An» -h Mwr — 2B"mn = o, égalité qu'on peut écrire sous la forme :

ft^k^. Théorème. Pour que l'on puisse inscrire un trièdre trirectangle sur un cône du second ordre (i), il est nécessaire et suffisant que la somme des coefficients des termes en a?*, y*, et 2?y soit nulle.

Montrons d'abord que la condition est nécessaire. Les équations des arêtes du trièdre étant

en exprimant que ces droites sont sur le cône, on a :

Aa* 4-A'6' +AY -h2B6Y + 2B'aY -h2B"a6 =0, Aa'* -h A'6'' -h A^'y'" + 2B5'y' + aB'a'Y' + 2B''a'6' = 0,

Aa"* + A'ê''« + A''y'' + 2B8Y + 2B'aY + 2BV6" zz 0.

1. On dit qu'un trièdre est inscrit à un cône lorsque les trois arêtes du trièdre coïncident avec trois génératrices du cône.

Le trièdre est circonscrit au cône lorsque les trois faces de ce trièdre coïncident avec des plans tangents au cône.

En ajoutant ces égalités, et en tenant compte des relations connues [§ 21 ; formules (a)' et (6')], nous avons

Réciproquement y si cette égalité est vérifiée, le cône proposé est capable d'une infinité de trièdres trirectangles inscrits.

En effet, soient

les équations d'une arête du cône ; Tégalité :

ax + ôy + Y^; — o,

représente un plan perpendiculaire à cette droite.

Ce plan (§ 243) coupe le cône suivant deux droites rectangulaires, si Ton a

(A + A' -h A") (a« -4- 6« H- y') = /"(«, «» ï)- Or, cette relation est vérifiée, puisque Ton a A + A'-4-A''=io, et /^(a, 6, y) = o.

Le cône que nous venons de considérer, et qui est capable de trièdres trirectangles inscrits, est quelquefois appelé cône équilatère.

594&. Remarque. Lorsque Téquation

Aof + Ay -h A V -f- 2Byz -f- 2B'zx + 2W^xy = o ,

représente deux plans, si Ton suppose, en outre,

AH-A' + A'' = o,

les plans proposés - sont rectangulaires. Ceci résulte, si Ton veut, de ce fait que Ton peut placer, sur la surface proposée, un trièdre trireclangle dont les arêtes soient situées dans les plans donnés; on le vérifie aussi, en observant que Tidenlité

Aaf -4- JiY H- A V + 2Byz 4- 2B'zx -4- 2B"xy s: {ax -h by -h cz) (a'x -h h'y -h c'z)^

et l'égalité

donnent

aa' -f- bb' + ce' =: o,

A-+-A'4.A''rro.

94IB. Cônes supplémentaires. Si Ton imagine un cône C, le lieu des normales menées, par son sommet, à ses plans tangents, est un cône C : ces deux cônes qui sont réciproques^ comme nous le montrerons tout à Theure, sont appelés cônes supplémentaires. Cherchons d'abord l'équation deC.

Le plan qui correspond à Téqualion

(P) mx -{-ny + pzzzo, est tangent au cône C, quand Tégalité

zz o

est vérifiée (§ i53).

Cette égalité développée devient :

m'(A'A" — B*)-hn*(AA"-B'*)H-p*(AA'— B"')-+-2wp(AB-B'B'') + awp (A'B' — BBO + amn (A''B'' — BB') zz o,

ou, en introduisant la notation des mineurs de A,

(i ) am* + a V -+- a^p* — 2bnp — 2b'mp — 2b"mn =: o. La normale au plan (P) est représentée par les équations

et le lieu décrit par cette droile est un cône du second ordre correspondant à Téquation

(c') ¥{x,y,z)zzax*'h a\f + aV — ibyz — 2V zx— 2b"xy ~ o. De L. Tomb m. 1 7

Pour élablir la réciprocité des cônes C et C (réciprocité qui géométriquement, est rendue manifeste, par la considération de deux plans, tangents au cône C, et infiniment voisins), il faut montrer qu'en cherchant le cône supplémentaire de C, on retrouve le cône C, lui-même.

Or, ceci résulte des identités :

ao! — 6"*sA"A, a'a^ — V s:AA, a^'a-b'* =A'A; a"b"-'hb':s:W^, ab — 6'6"sBA, a'6' — 6"6 s: B'A ;

identités que nous avons signalées en Algèbre (p. 656), qui ont été encore appliquées précédemment (§ i53), et que Ton peut, d'ailleurs, vérifier immédiatement.

5941'9. Théorème. Étant donnée une droite A dont les équations sont

la condition nécessaire et suffisante pour que Von puisse mener y par cette droite^ deux plans tangents rectangulaires au cône (C), est :

en posant, comme nous l'avons déjà fait^

J=:AA'-H-AA'' + A'A'' — B* — B" — £''•=: a-f. a' + <

et

F (a?, y, z) =: x* (A'A" - B*) + y' (AA" — B'*) -h 2* (AA' — B"*) -h lyz (AB — B'B") -H- 23a? (A'B' — BB'^ -h 2a?y (AW — BB').

Imaginons un plan P tangent au cône (C) et correspondani. à réquation

mx + ny '\'pz'r:zo.

Nous avons aussi

ma-f-w6-|-j9Y=^o?

puisque P passe par A. Ces deux égalités donnent

m ^ n __^ p ïy — ^^ OLZ— yx 6x — ay

La relation (i), établie au paragraphe précédent, devient donc :

a{yy — 6z)*'{'a'{ixz—yx*-ha"(6x—(xyy^2b{(xz—yx]{6X'—oLy) — 2Ô' (yy — 62) {tx — ay) — 2b'^ (a? — yx) {yy — iz) zz o.

Pour que les deux plans qui correspondent à cette équation soient rectangulaires, il est nécessaire et suffisant que Ton ait

aY-H- aT+ 2My+ ay' -»-«'«* H- 2^>'aY-ha6'+aV+26''a6 ir 0,

>. Théorème. la condition nécessaire et suffisante^ pour qu'un cône du second ordre soit capable d'un trièdre trirectangle circonscrit, est

• Considérons, en effet, un trièdre qui soit circonscrit au cône (C), et dont les arêtes aient pour équations, respectivement,

X ^y z X y __z oc y z

Par chacune de ces droites on peut mener à (C) deux plans tangents rectangulaires et l'on a

J(a' +6* -hY*) =aa*-ha'6* +aY— 2My —lA'xy —2b"(x6, j(a'«+6'*+Y'^=aa'*+a'ô'*H-aV---2MY— 26VY'--26''a'6', j (a''*-|-6''H- y"') = aoL'^-i- aV-^ a'Y*— 266 Y— 26'a V— 26"a''ô^

Les coefficients, a, 6, y ; «', ô', y'; «% ^% /; représentent, si Ton veut, les cosinus directeurs des arêtes du trièdre tri*

reci angle considéré, et sî nous ajoutons les trois égalités précédentes, nous avons, après simplifications,

ou, . ^

J ZI o.

Béciproquemenl, si l'un suppose que J isoit nul, le cône considéré (G) est capable d'une infinité de Irièdres trirectangles circonscrits.

En effet, considérons un plan P tangent à (C), et soient

les équations de la normale A à ce plan. Cette droite appartient au cône (C) et Ton a, par conséquent,

D'autre part, on suppose J zr o ; ainsi la relation

est vérifiée. Ceci prouve que les plans menés par A et tangents à (C), sont rectangulaires.

949. Cônes conjugués. Les cônes supplémentaires dont nous venons de nous occuper peuvent être considérés comme constituant un cas particulier des cônes conjugués, que nous allons définir.

Imaginons un cône D et, en même temps, une quadrique Q, à centre unique ; soit P un plan tangent à D et soit A le diamètre de Q qui est conjugué de P. Si, par le sommet de D, on mène une parallèle à A, le lieu décrit par cette parallèle est un cône D', qui est dit conjugué de D.

En remplaçant la quadrique Q par une sphère, on voit que Ton revient alors à l'idée des cônes supplémenlaires.

Prenons pour origine le sommet de D, et pour axes de

APPUCATIOiNS DIVERSES S61

coordonnées trois parallèles à trois diamètres coiyugués de Q. L'équation de D étant

( D) kx* + A'y • + h!'z* + aBy^: + aB'zo? -h iWxy - o , un plan P ayant pour équation

mX'hny'\-pz^iOy

est tangent à ce cône si l'on a, comme nous l'avons montré (§ 246),

am* H- a'n* + a V — ^hpn — ib'mp — ^b"mn = o . D'aulro part, Téqualion à^ Q étant

la parallèle au diamèlre conjugué de P, menée par l'origine, correspond aux équations

**"*" ^tm^ "■— ^^*» ^^"^ •

Le lieu cherché est donc un cône du second ordre représenté par réquation

(D') a aV-h a'ôy-h a Y^'— 'ibiyf/z — 2b'oLyxs — 2¥a.^xy nz o .

Deux cônes conjugues sont réciproques,. car si l'on cherche le cône conjugué do (D') on relombe (au facteur près, a* 6* Y* A) sur le cône (D).

Nous terminerons cetle leçon en établissant les théorèmus d'Apollonius dans le cas des quadriques à centre ; cetle démonstration très simple est une application de l'équation en s.

9SO'. Théorèmes d'Apollonius. Considérons une quadrique Q, de la première classe, qui, rapportée à trois diamètres conjugués, a pour équation

EXERCICES

f . Twuver la condition nécessaire et suffisante pour que le plan qui correspond à l'équation

mx-^-ny -\-pzzz o,

coupe deux plans donnés P, Q, suivant deux droites rectangulaires. Les équations des plans étant

ax+by + cz:z:o, a'x + h'y + c[z ziOy

on considère l'équation

{ax+by '\'Cz){a'X'\'h'y-{'C'z) — o,

et, après avoir développé le calcul indiqué, on lui applique la relation trouvée plus haut (§ a43).

t. Trouver l'enveloppe des sphères qui touchent trois sphères fixes.

En prenant des axes rectangulaires quelconques, les équations des sphères fixes étant

Si = , 82=0, S3 = ,

on trouve

Si

zr .

En développant ce déterminant, le résultat est :

^"K + ^IK + ^X - ^hh^^z - 2^1838, - 2t,t,s,s,-o .

égalité qui peut s'écrire encore

Dans ces équations, les constantes ^1, ti, ts sont données par les égalités

<, = («3^ X,)' + (y, - yj -H (2, z,y — (R, — R J* ,

R«, R3, B3 «ont les rayons des sphères fixes données ; {Xi, y„ ï,), (x„ yj, 2i). (i'^a. Vi 23) désignent les coordonnées des centres respectifs.

EXERCICES 265

La surftice en question est connae sous le nom de Cyeltde de Dnpln.

Si Ton cherche l'intersection de la cyclide avec une des sphères fixes proposées, on yoit que cette intersection correspond aux deux équations.

Chacune de ces égalités représentant une sphère, on déduit de cette remarque le théorème suivant :

Quand une sphère mobile iouihe constamment trois sphères fixes ; chacun des points de contact décrit un petit cercle de la sphère fixe qui lui correspond.

Ce théorème remarquable est dû à Dupuis ; les résultats précédents ont été empruntés à une étude de M. Neuberg sur la cyclide de Du pin (Mémoires de la Société Royale des Sciences de Liège, 2® série, X. X, 1884).

Les supfaees eyelides, dans le sens le plus général donné & ce mot, sont les surfaces du quatrième ordre qui passent doublement par le cercle de rinfini, ou, si l'on préfère, qui correspondent à l'équation

Q = o, représentant une quadrique et U étant une forme linéaire jet homogène. La cyclide de Dupin est un cas particulier de ces surfaces plus générales, qui ont élé étudiées par M. Moutard (Nouv, Annales, 1864), et, après lui, par M. Darboux. {Sur une classe remarquables de courbes et de surfaces algébnques : Paris, Gauthier-Villars, 1873.)

Le tore, les podaires de quadriques, les transformées de quadriques par rayons vecteurs réciproques sont encore des exemples de surfaces cyclides.

8. Démontrer que le lieu des centres des sphères tangentes à trois sphères fixes est un système de deux coniques,

(DCPIN.)