TROISIÈME LIVRE

ÉTUDE DES QUADRIQUES d'aPRÈS LEURS ÉQUATIONS RÉDUITES

L'ELLIPSOÏDE. (Les plans tangents.)

i. Nous avons montré, quand nous nous sommes occupé de la réduction de l'équation générale du second degré, que les surfaces que nous avons nommées ellipsoïdes pouvaient^ par un choix convenable d'axes rectangulaires, être représentées par l'équation

Nous nous proposons maintenant de tirer, de cette équation réduite, une étude des propriétés de la surface qui lui correspond.

9&&. Nous avons déjà indiqué (§ i4o), et la figure cidessous la, rappelle, la forme générale de cette surface. Les sections obtenues par les plans de coordonnées sont des ellipses que nous nommerons ellipses principales. Si, par un point I pris sur OX, nous menons un plan parallèle à YOZ,

en posant 01 = h, nous obtenons une section qui se projetle, en vraie grandeur, sur ce plan ; son équation est

En imaginant que h varie de zéro à a, les axes de cette ellipse vont constamment en diminuant; ils conservent un rapport constant et varient, respectivement, depuis les va-

Fig. 38.

leurs b et c, jusqu'à zéro. Cette remarque permet de se faire une idée approximative de la forme affectée par Tellipsoïde. .Nous ferons ici, avant d'aller plus loin, une convention; nous supposerons, une fois pour toutes.

Ainsi, a représentera la longueur de Yûxe majeur; 6, celle de Vaxe moyen : enfin c, celle de Vaxe mineur.

5S&e. S'il arrive que deux des quantités a, b, c soient égales, on peut alors faire deux hypothèses : ou bien az=:b, c'est le cas de Vellipsoîde de révolution aplati; ou bien b zn c, la surface est alors un ellipsoïde de révolution allongé.

ft^H. Théorème. Toute section plane de F ellipsoïde est une ellipse.

Prenons Téquation du plan sécant sous la forme

2 ^ X y o ah

X, [K, V, désignant des paramètres arbitraires. La section obtenue se projette sur le plan XOY suivant une courbe qui a pour équation

Si nous développons cette équalion, nous voyons que le genre de la conique qui lui correspond dépend du signe de la quantité S,

S étant positif, la projeclion est une ellipse; la courbe dans Tespace est donc, elle aussi, une ellipse.

9&H. Sections circulaires. Parmi les sections planes on doit remarquer celles qui sont des cercles.

D'après la théorie générale exposée précédemment (§ 2o3) les plans cycliques centraux sont donnés par Téquation

n étant la racine moyenne de l'équation en s qui correspond à l'équation (E).

Fig. 29.

On conclut de là que l'équation des plans cycliques est :

Ô désignant un paramètre arbitraire.

On remarquera que les plans cycliques centraux passent par Taxe moyen de la surface On les détermine géométriquement, comme l'indique la figure, en décrivant, du point comme centre, avec h pour rayon, un arc de cercle dans le plan ZOX; la détermination des points communs à ce cercle et à Tellipse n'exige pas que xette courbe soit tracée, et elle peut se faire avec la règle et le compas.

5I^&9. Ombilics. Les ombilics sont les extrémités des diamètres conjugués des plans cycliques ; ces droites sont situées dans le plan ZOX et correspondent aux équations

On peut les déterminer géométriquement, avec la règle et le compas, en observant que Ja distance de Tombilic au point étant la longueur d'un diamèlre conjugué de OE, dans l'ellipse AA'CC, en désignant par p la distance de Tombilic au centre de Tellipsoïde, on a

^eo. Pian tancent. En désignant par {x' y' z') les coordonnées du point de contact, l'équation générale du plan tangent (§ 85), appliquée à l'équation (E), donne

c'est une première forme de l'équation du plan tangent. Nous allons en indiquer trois autres.

9ei . Cherchons d'abord à déterminer S de façon que l'équation

cfX'^iy-h^z^n'èy

représente un plan tangent à (E). En identifiant cette équa* tion avec (T,), nous avons :