Représentation d*un point de l'ellipsoïde
Un calcul que nous produirons plus loin (Lee. 26), conduit à l'identité suivante
identité qui est, d'ailleurs, manifeste
D'après cetle remarque, les coordonnées a/, y' y z', d*un point mobile sur l'ellipsoïde peuvent être représentées par les formules
a i-#.^'h-o* b i-f.i*-+0*' c 1 -ht» 4-0*
Parmi les conséquences de ces formules, on peut observer que l'égalité
représente, sons une forme rationnelle, et avec deux paramètres arbitraires ^ 6, Téquation générale des plans tangents à Tellipsoïde.
S64I. Plan polaire. Le pôle Mo ayant pour coordonnées (Xo, y 09 Zoy) l'équation du plan polaire est (§ 90).
Nous la représenterons aussi, dans la notation abrégée, par
ni=o.
96&. Cène circonserit. L'équation que nous avons trouvée (§ 98) et qui représente un cône de sommet donné circonscrit à une quadrique, étant appliqué à (E), donne
ou, dans la notation abrégée, que nous avons adoptée,
(C) EEoi^n';
9BO. Tbéorème de Mong^e. Le lieu des sommets des angles trièdres trirectangles circonscrits à V ellipsoïde est une sphère.
Soit Mo Tun de ces sommets; l'équation (C), développée, donne
<'=•' ?(ïi
Le cône qui correspond à cette équation doit être capable d'un trièdre trirectangle circonscrit ; or, nous avons vu (§ 248) que si Téquation
kx* + M y* -4- k"z* -h 2B2/2 H- ih'zx + iWxy -h . . . = ,
représentait un cône capable d'un Irièdre trirectangle circonscrit, on avait
Cette condition est nécessaire et suffisante. Si nous rappliquons à l'équation (C^') nous avons
Xq . Zq
2o , yo^ c* "^' b*
^0 , yo
La première ligne de ce développement peut s'écrire
ou
De L. Tome UL
en appliquant cette remarque aux deux autres lignes nous pouvons écrire l'équation du lieu cherché sous la forme
■^¥^[o(^o + yo + Zo — a —h —c) = o.
La présence du facteur Eo, dans ce résultat, peut s'expliquer comme il suit.
Si Ton suppose Eo = o, le point Mo est situé sur Pellipsoïde et l'équation du cône circonscrit est alors
On peut donc dire que, dans ce cas particulier, le cône circonscrit est constitué par un plan double qui est le plan tangent P, au point considéré Mo. Chaque face du trièdre trirectangle ayant son sommet au point Mo, coupe ce plan double suivant deux droites coïncidentes; on peut donc considérer ce trièdre comme circonscrit à ce cône singulier. Or, nous avons cherché le lieu d'un point jouissant de la propriété que le cône circonscrit à l'ellipsoïde, cône ayant ce point pour sommet, fût •capable d'un trièdre trirectangle circonscrit; les points de l'ellipsoïde répondent, au point de vue analytique, à cette question, et c'est pour ce motif que le calcul précédent nous a conduit à un résultat renfermant le facteur E©.
Cette explication donnée, si nous supprimons ce facteur Eo, introduit comme nous venons de le dire, et si nous rendons a?o, Vo, Zo coordonnées courantes, nous avons, pour l'équation du lieu
Cette équation représente une sphère que l'on a nommée sphère de MongCy ou encore sphère orthoptique. Il résulte de l'analyse précédente que tous les points de cette sphère jouissent de la propriété que nous avons exprimée plus haut ; la condition qui a servi de base aux calculs précédents étant, comme nous l'avons rappelé, nécessaire et suffisante.
EXERCICES 275
969. Cylindres ciroonscriÉs. Lorsqu^on suppose que le point Mo s'éloigne à l'infini, dans la direction (a, 6, y)> réquation (C) devient
elle représente un cylindre circonscrit à la surface. Les génératrices sont parallèles à la droite qui correspond aux équations
CL 6 Y ' et la courbe de contact est une ellipse ayant pour équations
ax , ^y yz
EXERCICES
f . Démontrer que le lieu des sommets des trièdres trirectangles dont les arêtes sont tangentes à V ellipsoïde {Ei)festun ellipsoïde correspondant àV équation
X* {b' + c*) + y* (c* + a*) + z* (a* + b*) zz a'b* + b*c* + c*a\
SB. On considère la surface qui correspond à V équation
et un plan tangent quelconque P, à cette surface* Le plan P coupe YOX suivant une droite A, etf par A, on peut mener un plan parallèle à OZ ; les trois plans qu'on obtient ainsi se coupent en un point I. Démontrer que le lieu décrit par I a pour équation
iL 4-14-1 = -
8. Démontrer que la surface podaire de Vellipsoïde, lieu des projections du centre sur les plans tangents, a pour équation
( i) {a^-hy' + z'Y = aW + by + c'z' .
Étudier la variation du rayon vecteur qui va de l'origine à un point de cette surface qui, comme toutes les podaires de quadriques, passe doublement par le cercle de Vinfini et rentre, comme cas particulier, dans les surfaces Cyelldes. (V. Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques , par M. G . Darboux, Gauthier-YlUars, 1873.)
Démontrer que la surface représentée par {i)p€ut être considérée comme la surface inverse d*un ellipsoide convenablement choisi.
4. On imagine un ellipsoïde rapporté à ses axes et on considère ses ellipses principales : a désignant celle qui est placée dans le plan YOZ, et ainsi des autres.
Soit A une droite s' appuyant sur ^ et sur y, respectivement aux points R et S, et soit P le pôle du plan ARS, A désignant l'un des sommets de VeUipsoïde situés sur OX.
Le plan A'RS coupe les axes OY et OZ en deux points qui représentent les projections de P sur ces axes.
Pour Térifler cette proposition par Tanalyse on introduit les coordonnées (xff z'), (xtf, y") des points R et S. L'équation du plan ARS est alors
On calcule ensuite les coordonnées du point P et l'on vérifie ainsi la proposition.
On peut aussi remarquer que la propriété précédente est la conséquence géométrique, et immédiate, du théorème suivant qui donne une élégante construction de la tangente en un point de Tellipse, avec la règle et Téquerre.
La tangente en un point M pris sur une ellipse dont le grand axe est AA', et dont le centre est le point 0, milieu de AA', rencontre la tangente en A en un point G, dont la distance à A est justement égale à celle du point au point de rencontre de A'M avec le petit axe.
5. Démontrer que si t et b désignent deux paramètres variables, les équations.
ah G
représentent une droite quelconque A rencontrant les deux ellipses principales 6 ef Y» ^
EXERCICES 277
6. On considère un axe AA' d'une ellipsoïde et un point M sur la surface; si Von projette A'M sur les deux plans principaux qui passent par AA', on obtientfdans les ellipses principales ^ deux cordes qui rencontrent ces courbes en des points P et Q.
Les ellipses (A'PQ), (A'AM;, se coupent, en un point û et la droite A'U coupe en deux parties égales la projetante de M sur A A'.
7. On prend sur un ellipsoïde un point M et on le joint à Vùn des sommets A' de la surface ; les projections de A'M sur les deux plans principaux qui passent par le sommet considéré A' rencontrent tes ellipses principales, respectivement, en des points ? et Q ; démontrer que le plan MPQ passe qu^l que soit le point M de V ellipsoïde, par un point fixe; ce point étant le sommet A, opposé à A'.
8. Par le centre d'un ellipsoïde on mène un plan P qui coupe la surface mivant une conique Jl ; au point on mène une perpendiculaire à'P et Von prend, sur cette droite, des longueurs 01, OJ, égales aux demi-axes de S. Trouver le lieu des points l et i ] quelle est la nature de la section de la surface trouvée, par les plans de coordonnées.
D'après la formule établie plus loin (§ 275) on a immédiatement Téqualion du lieu :
aV b'-y' c'z*
Cette surface du quatrième ordre est constituée par deux nappes, ayant deux points communs doubles ; ceux qui correspondent aux plans cycliques centraux.
Elle a été découverte par Fresnel qui l'a nommée surface de Vonde. (V. Mémoires de l'Institut ; V. VII, 1827, et Mannhbi», Comptes rendus de l* Association française pour Vavancement des Sciences, 1876, p. 130; 1877, pp. 167, 175.)
9. Si trois points d'une droite demeurent sur les faces d'un trièdre, un quatnème point de la droite décrit un ellipsoïde.
