DUPIN
^O. Le volume de l'ellipsoïde considéré dans le théorème I est indépendant des angles du trièdre»
il. Si quatre points d^une droite demeurent sur les faces d'un tétraèdre
un point quelconque de la droite décrit une ellipse et la droite reste parallèle
Qux génératrices d*un cône de révolution,
(Mannhbim.)
^^, Lorsque quatre points dune droite demeurent sur quatre plans, toits
les points de la droite décrivent des ellipses dont les centres sont en ligne
droite,
(Halphen.)
Pour ces quatre derniers exercices on peut consulter une solution donnée par M. Ed. Lucas. {Journal de Math. spéc. , août 1884.)
YINGT-DEUXIÈME LEÇON
L'ELLIPSOÏDE. (Les diamètres.)
9B8. Diamètres conjugués. Les formules démontrées précédemment (§ 177), étant appliquées à Téquation de Tellipsoïde, prouvent que les droites qui correspondent aux équations
forment un système triplement conjugué, par rapport à cette surface, si les égalités :
^^ + !i + IT = o,
aa .66 . Y y
soiit vérifiées.
Si nous imaginons les extrémités de ces diamètres
M' {ce/, y', z'), M" {x\ y", z"), W (a;", y", z"),
nous rappelons ici que nous avons établi (§ i83) les formules
a5" + a^' + aj"'=:a*, l a/y' + arV + a;"'y" = o,
^w + ^«« 4. 2«" = c* : / zV+ z'af + ^"'ic"' = o.
Nous nous proposons d'obtenir par ces formules, une nouvelle démonstration des théorèmes d'Apollonius (v. §25o).
9G9. Théorèmes d*ApoIIonias. (Seconde démonstration.) i** Nous désignerons par a', 6', c', les longueurs des demi-diamètres conjugués OM', OM", OM*^. Nous avons donc
et si nous ajoutons les égalités (i) nous obtenons, d'abord,
égalité qui établit le théorème 1.
2<> Considérons maintenant le triangle OM'M" ; la surface S*^ de ce triangle se calcule par la formule établie plus haut
Cette égalité peut encore s'écrire
En calculant de même les surfaces S' et S", nous avons
— aa/y Vy"— ix"y''afy'" — ^ix'y'xl'y'" + . . .
ou, en tenant compte des égalités (i),
— ix'y'x"y" — %x"y"x"'y"' — 'idy'xTy '" + ...
aj'
ai 1
af
of 1
ou, encore.
4 (S'" + S'^' + S^*) = a'V + a V + 6 V— (x'y' + d'y' + a?y )* Les égalités (a) prouvent que Ton a, finalement,
relation qui constitue le second théorème d'Apollonius.
VliNGT-DEUXÏÈME LEÇON
3® Le volume V du tétraèdre formé par Torlgine et par les trois points conjugués M', M", M'", est donné par la formule (§ 73), .
+ 6Vr:
tf ^ft
,nf
En développant ce déterminant et en tenant compte des relations (i) et (2) on arrive, assez vite, au résultat annoncé
Mais il est plus simple d'appliquer la règle que nous avons donnée en algèbre pour effectuer la multiplication de deux déterminants. On trouve ainsi, imméSiatement,
xy+ xY+ ^""y"' z'x' + z"x" + s' V
y'' + y"* + y"' zy + zY + -V
y'z'+yY+y"z'" 2"+ z"* + z
^mi
OU, d'après les relations (1) et (2),
Nous obtenons donc, finalement,
36V*-a'ôV,
ou
6V = abc .
C'est cette égalité qui donne le troisième théorème d'Apollonius.
^90. Diamètres €M»nJasçaés éganiL. Nous allons montrer qu'il y a dans l'ellipsoïde une infinité de systèmes triplement conjugués et formés par des diamètres égaux.
Soit le centre de la surface ; de ce point comme centre,
avec un
rayon égal a y r— ^ — , décrivons une sphère ;
nous obtenons sur Tellipsoïde une certaine courbe F. Cette courbe est réelle parce que le rayon considéré est, à la fois, plus grand que c, et plus petit que a.
Prenons maintenant sur F un point M et soit P le plan
• Fig. 3o.
diamétral conjugué de OM. Ce plan P coupe Tellipsoïde suivant une ellipse; dans laquelle nous distinguerons les diamètres conjugués égaux OQ et OR. Les trois droiles OM, OQ, OR, forment un système triplement conjugué ; il nous reste à montrer qu'elles sont égales.
Le premier théorème d'Apollonius donne
OM +0Q +0R i=a" + ^* + 6*; mais nous avons aussi
.^ a- + y + c-' ^ et OQrrOR;
ainsi,
282 VINGT-DEUXÏÈME LEÇON
Cette relation prouve que
les trois droites OM, OQ, OR sont donc égales.
991. Plans diamétraux conjugués. Si nous considérons les deux équations
Air + By + C0 = o ,
les plans qu'elles représentent seront conjugués, si le diamètre A conjugué du premier plan est situé dans le second. Les équations de A étant :
00 ^ y ^ z Aa" ■" bF* "^ C? '
nous trouvons ainsi la relation cherchée
999. Plan et droite conjugués. Soit un plan P ayant pour équation
mx -\-ny +pzz=:o,
et une droite A représentée par les égalités.
( Ax + By + Cz = o, ^*^ I A'x+B'y + C'z-o.
La droite A' conjuguée du plan P a pour équations
D'autre part,les équations (i) pouvant s'écrire sous la forme
